АВ.Погорелов

Я a
Г"! ПО,
АВ.Погорелов

УЧЕБНИК ДЛЯ 7—11 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Допущено
Государственным комитетом СССР по народному образованию
2-е издание
ЛЕ>!5 ЕСЕЯ TER.ML’iY NOMICAGI
SUKXC-» О'ДДО ViLOYATI AXBOROT
ЦЦ-'I ЧI if—мо^у.

ББК 22.151я72
П43
ОДОБРЕНО БЮРО ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИКИ АН СССР,
ПРЕЗИДИУМОМ АПН СССР
Учебник занял призовое место
на Всесоюзном конкурсе учебников по математике
для средней общеобразовательной школы
Погорелов А. В.
П43 Геометрия: Учеб, для 7—11 кл. сред. шк.— 2-еизд.— М.: Просвещение, 1991.— 384 с.: ил.— ISBN 5-09-003385-4.
и
4306020400—178
103(03)—91
инф. письмо — 91, № 68
ББК 22.151я72
ISBN 5-09-003385-4
© Погорелов А. В., 1990

7 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ свойства простейших ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
1.		ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).
Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.
Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать

Рис. 1

4
7 класс

Рнс. 2
и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида, создавшего руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по отои книге.
Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Евклид — древнегреческий ученый (III в. до н. э.)
2.		ТОЧКА И ПРЯМАЯ
Основными геометрическими фи-
гурами на плоскости являются точка
и прямая. Точки принято обозначать
прописными латинскими буквами:
А, В, С, D, ... . Прямые обозначают-
ся строчными латинскими буквами:
а, Ь, с, df ... .
На рисунке 3 вы видите точку А
и прямую а.
Прямая бесконечна. На рисунке
мы изображаем только часть прямой,
но представляем ее себе неограничен-
но продолженной в обе стороны.

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
5

Рис. 3

Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ъ и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой о или что прямая а проходит через точки А и С.
Точка В лежит на прямой Ъ. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ъ. Прямые а и Ъ пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых о и Ь.
На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В.

Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства:
I.		Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ь можно обозначить ВС.

6
7 класс

Задача (З)1. Могут ли две прямые иметь две точки
пересечения? Объясните ответ.
Решение. Если бы две прямые имели две точки пе-
ресечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А
это невозможно, так как через две точки можно про-
вести только одну прямую. Значит, две прямые не могут
иметь две точки пересечения.
3.		ОТРЕЗОК
Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки Ап В лежат по одну сторону от точки С.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В.
На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка X прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка Y не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ.

1 Число в скобках указывает номер задачи в списке задач, приведенных в конце параграфа.

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
7
Основным свойством расположения точек на прямой мы будем называть следующее свойство:
II.		Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
4.		ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 8 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
А	СВ

Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства:
III.		Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В.

. Задача (9). Три точки А, В, С лежат на одной пря-
мой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см.
Может ли точка А лежать между точками В и С? Может
ли точка С лежать между точками А и В? Какая
из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
Решение. Если точка А лежит между точками В и С, то по свойству измерения отрезков должно быть АВ + +АС=ВС. Но 4,3+ 7,5 ^=3,2. Значит, точка А не лежит между точками В и С.
Если точка С лежит между точками А и В, то должно

8
7 класс
быть АС-\-ВС=АВ. Но 7,5-f3,2=7^4,3. Значит, точка С не лежит между точками А и В.
Из трех точек на прямой А, В, С одна точка лежит между двумя другими. Значит, этой точкой является В.
5.		ПОЛУПЛОСКОСТИ
Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Рис. 9
На рисунке 9 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую а. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую а.
Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство:
IV.		Прямая разбивает плоскость па две полуплоскости.

Задача (17). Даны прямая и три точки А, В, С, не
лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пере-
секает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает
ли прямую отрезок ВС'? Объясните ответ.
Решени е. Прямая разбивает плоскость на две полу-
плоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них.
Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит
в той же полуплоскости, что и точка А.
Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В ле-
жит в другой полуплоскости.

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
9
Таким образом, точки В и С ле-
жат в разных полуплоскостях.
А это значит, что отрезок ВС пере-
секает нашу прямую.
6.		ПОЛУПРЯМАЯ
Задача (20). Даны прямая а
и точки А, X, Y, Z на этой прямой
(рис. 11). Известно, что точки X
и У лежат по одну сторону от
точки А, точки X и Z тоже лежат
по одну сторону от точки А. Как
расположен^ точки Y и Z относи-
тельно точки А: по одну сторону
или по разные стороны? Объясни-
те ответ.
Решение. Проведем через
точку А какую-нибудь прямую Ъ, отличную от а. Она
разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них
принадлежит точка X. В той же полуплоскости лежат точ-
ки Y и Z, потому что отрезки XY и XZ не пересекают
прямую Ь. Так как точки Y и Z лежат в одной полуплос-
кости, то отрезок YZ не пересекает прямую Ъ, а значит, не
содержит точку А. То есть точки Y и Z лежат по одну
сторону от точки А.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая
состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону
от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой
полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой,
имеющие общую начальную точку, называются дополнитель-
ными.
Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчны-
ми латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую дву-
мя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадле-
жащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на
первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жир-
ной линией на рисунке 12, можно обозначить АВ.
а А	В
Рис. 12	ф I.	—i^——.

В
Рис. 10

10
7 класс

Задача (22). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните Ответ.
Решение (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С.
Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие.

Рис. 13
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые СА и СВ дополнительные.
7.		УГОЛ
Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки,— сторон угла.
На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком А. Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: АО, A(ab), ААОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится посередине.

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
11

Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами О А и ОВ.	\у
Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой- нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами угла (аЬ), так как он исходит из вершины угла (аЪ) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (аЪ) равен 120°. Полупрямая с проходит между сторонами угла (аЪ). Угол (ас) равен 90°, а угол (Ъс) равен 30°. Угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс).

Рис. 17

12
7 класс
Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства:
V.		Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Задача (25). Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab), если Z_(ac) = 30°, Z(cb) = 80°, Z(ab) = 50°?
Решени е. Если луч с проходит между сторонами угла (аЪ), то по свойству измерения углов должно быть: Z(ac) + Z(bc) = Z(ab).
Но
30° + 80° ф 50°.
Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (ab).
8.		ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).

Посмотрите на рисунок 19. Полупрямая а, продолженная за начальную точку Д, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
13

Основными свойствами откладывания отрезков и
углов мы будем называть следующие свойства:
VI.		На любой полупрямой от ее начальной точки можно от-
ложить отрезок заданной длины, и только один.
VII.		От любой полупрямой в заданную полуплоскость мож-
но отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,
и только один.
Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, мень-
ший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между
двумя другими? Объясните ответ.
Решение (рис. 20). Так как точки В и С лежат на од-
ной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделя-
ются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками
В и С.
Может ли точка В лежать между точками А и С? Если
бы она лежала между точками А и С, то было бы
АВ+ВС=АС.
Но это невозможно, так как по усло-
вию отрезок АС меньше отрезка АВ.
Значит, точка В не лежит между
точками А и С.
Из трех точек А, В, С одна ле-
жит между двумя другими. По-
этому точка С лежит между точ-
ками А и В.

14
7 класс
9.		ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.
На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак Д. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: А АВС.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
В

На рисунке 22 вы видите два равных треугольника АВС и А\В\С\. У них
AB = AiBu АС — АХС\, BC = BlCu
AA = Z.AU AB=ABU AC=ACX.
На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.	' :
Для обозначения равенства треугольников используется

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
15
обычный знак равенства: =. Запись ААВС = АА\В\С\ читается так: «Треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1». При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство ААВС= АА\В\С\ означает, что АА = АА\, АВ = АВ\,... . А равенство ААВС = ДВ1А1С1 означает уже совсем другое: АА= АВ\, АВ— АА\	

Задача (38). Треугольники АВС и PQR равны. Из-
вестно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°.
Чему равны сторона PQ и угол Л? Объясните ответ.
Решение. Так как треугольники АВС и PQR равны,
тоунихАВ=Р(2, АС= AR. Значит,PQ = 10 м, AR = 90a.
10.		СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ
Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 23, с). Переместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим А1, В\, С\ (рис. 23,6).
Треугольник А\В\С\ равен треугольнику АВС.
Существование треугольника А\В\С\, равного треугольнику АВС и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так:
VIII.		Какое бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

С

а)	б)
Рис. 23

16
7 класс
11.		ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
0 На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. Запись а\\Ь читается: «Прямая а параллельна прямой 6».
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем:
f IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
J\ V5 Задача (41). Может ли прямая, пересекающая одну Г “ J из двух параллельных прямых, не пересекать другую? '—' Объясните ответ.
Решение. Пусть а и b — параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 25). Если бы прямая с не пересекала прямую Ь, то через точку А проходили бы две прямые, нс пересекающие прямую Ъ: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и параллельную ей прямую Ь.

Рис. 24
Рис. 25

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
17
12.		ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
V Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рас- суждение' называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его сторону АВ (рис. 26). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей.
Если точка С" лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую а, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а).
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает (рис. 26, б).
В обоих случаях прямая о пересекает только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство.

Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. У Условие теоремы 1.1 состоит в том, что прямая не^дртаодит

18
7 класс
ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника.
13.		АКСИОМЫ
^ Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать определение чему-либо — значит объяснить, что это такое.
Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки».
Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников.
f КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ w
^ 1. Приведите примеры геометрических фигур.
2.		Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
3.		Как обозначаются точки и прямые?
4.		Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
19
5.		Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
6.		Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
7.		Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
"8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
9.		Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
10.		Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
11.		Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
12.		Как обозначаются полупрямые?
13.		Какая фигура называется углом?
14.		Как обозначается угол?
15.		Какой угол называется развернутым?
16.		Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла».
17.		В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
18.		Сформулируйте основные свойства измерения углов.
19.		Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
20.		Что такое треугольник?
21.		Что такое угол треугольника при данной вершине?
22.		Какие отрезки называются равными?
23.		Какие углы называются равными?
24.		Какие треугольники называются равными?
25.		Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
26.		Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
27.		Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
‘ 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
29.		Приведите пример теоремы.

ЗАДАЧИ4
1.		1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.
2)		Проведите две пересекающиеся прямые а и Ъ. Отметьте
1 Многие задачи настоящего учебника взяты из школьных учебников и задачников прошлых лет, в особенности из «Геометрии» А. П. Киселева и «Сборника задач по геометрии* Н. А. Рыбкина.

20
7 класс

Рис. 27
точку С пересечения прямых; точ-
ку А на прямой о, не лежащую
на прямой Ь; точку D, не лежа-
щую ни на одной из прямых а
и Ъ.
2.		Отметьте на листе бумаги две точ-
ки. Проведите через них от руки прямую. С помощью
линейки проверьте правильность построения.
3.		Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ.
4.		Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию (рис. 27). Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки?
5.		Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С.
6.		Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ.
7.		‘Точка М лежит на прямой CD между точками С и D.
Найдите длину отрезка CD, если: 1) СМ=2,5 см, MD — = 3,5 см; 2) СМ=3,1 дм, МП = 4,6 дм; 3) СМ= 12,3 м, MD = 5,8 м.
8.		Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середину отрезка, соединяющего эти точки. Проверьте правильность построения измерениями с помощью линейки.
9.		Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, ,410 АВ=4,3 см, АС=7,5 см, ВС=3,2 см. Может ли точка
А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
10.		Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ.
11.		Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объяс-
г\	ните ответ.
^12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если
АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
13.		Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
14.		Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
21
отрезка ВС, если АВ=2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?
15.		На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
16.		Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пере.секал ее.
17.		Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
18.		Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если:
1)		отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает;
3)		отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясните ответ.
19.		Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой полуплоскости. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ.
20.		Даны прямая а и точки А, X, Y, Z на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки X и Y лежат по одну сторону от точки А, точки Хп Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ.
21.		Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
22.		На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
23.		Проведите из одной точки три произвольных луча. Определите на глаз углы, образуемые этими лучами. Проверьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром. Повторите упражнение.
24.		Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если: 1) А(ас) = 35°, A(ad) = 75°; 2) А(ас) = 57°, Z.(arf) = 62°; 3) ^(ae)=94°, Z.(ad) = 85°.

22
7 класс
25.		Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab), если: 1) /.(ас) —30°, А(сЬ) = 80°, А(аЪ) = 50°; 2) А(ас) = = 100°, /-(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (аЬ)?
26.		Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч е. Найдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30° больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (Ьс); 3) луч с делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2:3.
27.		Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точку А. Затем отметьте на глаз точку В этой прямой так, чтобы АВ = 5 см. Проверьте точность построения точки В линейкой. Повторите упражнение для: 1) АВ=3 см; 2) АВ — 7 см; 3) АВ = 10 см.
28.		Постройте на глаз углы 30°, 45°, 60°, 90°. Проверьте точность построения транспортиром. Повторите упражнение.
29.		Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная. от В, что АХ—АВ1 Объясните ответ.
30.		На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
31.		На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,Ъ м, АС = 0,3 м; 2) АВ=2 см, АС — 4,4 см.
32.		Постройте на глаз треугольник с равными сторонами (равносторонний треугольник). Проверьте точность построения измерением сторон.
33.		На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD=5 см, а BD=6 см?
34.		На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равен угол С треугольника, если AACD = 30°, a ABCD = = 70°?
35.		Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник. Проверьте правильность построения, измеряя соответствующие углы и стороны. Повторите упражнение.
36.		Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см. ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ.
37.		Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: Z.P=40°, Z.Q = 60% Z.R = 80°. Найдите углы треугольника АВС.
38.		Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол R4 Объясните ответ.
39.		Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что

$ 1.' Основные свойства простейших геометрических фигур
23
АВ = 5 см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные сто-
роны каждого треугольника.
40.		Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный
ему треугольник ABD7
1.		Может ли прямая, пересекающая одну из двух парал-
лельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
42.		Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести
третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
43.		Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин
треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?
44*'. Даны четыре точки: А, В, С и D. Известно, что точ-
ки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также ле-
жат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки ле-
жат на одной прямой.
45*. Даны четыре прямые а,Ь,с и d. Известно, что прямые а, Ъ,
с пересекаются в одной точке и прямые Ь, с, d также пере-
секаются в одной точке. Докажите, что все четыре дан-
ные прямые проходят через одну точку.
46*. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Из-
вестно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая
CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и
CD пересекаются.
47*. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка В\,
а на стороне ВС — точка А\. Докажите, что отрезки АА\ и
ВВ\ пересекаются (рис. 28).
48*. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пере-
секаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пе-
ресекает прямую BD (рис. 29).
49*. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пе-
ресекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он
пересекает: 1) отрезок АС с концами на сторонах угла;
2)		любой отрезок CD с концами на сторонах угла (рис. 30).

и •*'_ ? / "i ()
С

В
А
0
В 0
В С
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
1 Звездочкой (*) отмечены задачи повышенной трудности.

24
7 класс
50. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
51*. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка С А. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые: АВ и АС.
■1
§ 2. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
14.		СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (си 6) и (а2Ь) смежные. У них сторона Ъ общая, а стороны а\ и а2 являются дополнительными полупрямыми.
Пусть С — точка на прямой АВ, лежащая между точками А и В, a D — точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 32). Тогда углы BCD н ACD смежные. У них сторона CD общая. Стороны СА и СВ являются дополнительными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разделяются начальной точкой С.

Рис. 31
Рис. 32
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть А{а\Ъ) и А(а2Ь) — данные смежные углы (см. рис. 31). Луч b проходит между сторонами он и а2 развернутого ^гла. Поэтому сумма углов (а\Ь)и (а2Ь) равна развернутому углу, т. е. 180°. Теорема доказана.

1 о
S 2. Смежные и вертикальные углы
25
Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные
с ними углы равны.
Из теоремы 2.1 следует также, что если угол не разверну-
то его градусная мера меньше 180°.
Задача (8). Найдите смежные углы, если один из них
в два раза больше другого.
Решение. Обозначим градусную меру меньшего из
углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет
2х. Сумма углов равна 180°. Итак,
х+2х = 180, Зж = 180.
Отсюда х=60. Значит, наши смежные углы равны 60° и
120°.
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол,
смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, боль-
ший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Так как сумма смежных углов равна 180°, то угол, смежный с острым углом, тупой, а угол, смежный с тупым углом, острый. На рисунке 33 изображены три вида углов.
15.		ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

26
7 класс
На рисунке 34 углы (aibi) и (а2Ь2) вертикальные. Стороны а2 и Ъг второго угла являются дополнительными полупрямыми сторон а 1 и b 1 первого угла.
Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (oi bi) и (а2Ь2) — данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (0162) является смежным с углом (aibi) и с углом (а2&2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (aibi) и (a2b2) дополняет угол (ai&2) до 180°, т. е. углы (aiЬi) и (а2Ь2) равны. Теорема доказана.

Задача (9). Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные (рис. 35). Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50°, а сумма смежных углов равна 180°. Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50°, то каждый из углов равен 25°.

16.		ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Пусть а и Ь — прямые, пересе-
кающиеся в точке А (рис. 3G).
Каждая из этих прямых точкой А
делится на две полупрямые. По-
лупрямые одной прямой образуют
с полупрямыми другой прямой че-
тыре угла. Пусть а — один из

§ 2. Смежные и вертикальные углы
27
этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикальным с углом а. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.
О	п р е д е л е н и е. ‘^Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 37).
Перпендикулярность прямых обозначается знаком _1_. Запись а_1_Ъ читается: «Прямая о перпендикулярна прямой Ь*.
Теорема 2.3УЧерез каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через а\ одну из полупрямых прямой о с начальной точкой А (рис. 38). Отложим от полупрямой Oi угол (aibi), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч. Ъ\, будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что существует, другая прямая, тоже проходящая через точку А и перпендикулярная прямой о. Обозначим через с 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом Ъ\.
Углы (atЬ1) и (oiCi), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а\. Но от полупрямой а\ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.	л/
Ч/ Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Рис. 37
Рис. 38

28
7 класс
А

В
а
Рис. 39
Рис. 40
На рисунке 39 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В — основание перпендикуляра. Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 40).
17.		ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3. Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой (90°). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Согласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол с данной градусной мерой.

$ 2. Смежные и вертикальные углы
29
18.		БИССЕКТРИСА УГЛА
Определение1. Биссектри-
сой угла называется луч, который
исходит из вершины угла, прохо-
дит между его сторонами и делит
угол пополам.
На рисунке 41 вы видите угол
(оЬ). Луч с исходит из вершины
угла, проходит между его сторона-
ми и делит угол пополам:
Z.{ac)=/_(Ъс)=^М.
Задача (17). Докажите, что биссектриса угла обра-
зует с его сторонами углы не больше 90°.
Решение. Как мы знаем, градусная мера любого
угла не больше 180°. Поэтому половина ее не больше 90°.
19.		ЧТО НАДО ДЕЛАТЬ, ЧТОБЫ УСПЕВАТЬ ПО ГЕОМЕТРИИ
При изучении геометрии незнание чего-либо из пройден-
ного материала может быть причиной непонимания нового
материала. Приведем пример.
Допустим, на уроке учитель доказывает теорему о равен-
стве вертикальных углов. Как вы знаете, в этом доказатель-
стве используются определение смежных углов и теорема о
сумме смежных углов. Если вы не знаете, какие углы назы-
ваются смежными, не знаете теоремы о сумме смежных углов,
то вы это доказательство не поймете. В результате этот урок
будет для вас пустой тратой времени. И к вашему незнанию
смежных углов прибавится незнание теоремы о равенстве
вертикальных углов.
Поэтому для того, чтобы хорошо успевать по геометрии,
нужно знать основные результаты изученного материала. А
для этого надо повторять пройденный материал по контроль-
ным вопросам.
Повторять пройденный материал по контрольным вопросам
надо так. Прочитайте вопрос. Уясните его себе. Если тре- 1
1 В дальнейшем слово «определение» писать не будем, а определяемое понятие будем выделять курсивом.

30
7 класс
буется дать определение какой-либо фигуры, мысленно дайте такое определение. Полезно сделать от руки чертеж определяемой фигуры. Если в вопросе речь идет о теореме, сформулируйте ее, уясните себе, в чем условие и заключение этой теоремы. Сделайте от руки чертеж, иллюстрирующий содержание теоремы. Доказательство теоремы при каждом повторении давать необязательно.
Повторяйте пройденный материал каждый раз, когда при изучении нового материала вы обнаруживаете незнание чего- либо.
1.		Какие углы называются смежными?
2.		Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
3.		Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
4.		Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
5.		Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
6.		Какие углы называются вертикальными?
7.		Докажите, что вертикальные углы равны.
о.	Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
9.		Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
10.		Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
11.		Что такое перпендикуляр к прямой?
12.		Объясните, в чем состоит доказательство от противного.
13.		Что называется биссектрисой угла?
1.	Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°.
2.		Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ.
3.		Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
4.		Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30° больше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из них в 3 раза меньше другого; 4) они равны.
5.		Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают: 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
о

ЗАДАЧИ

§ 2. Смежные и вертикальные углы
31
6.		Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23.
7.		Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
8.		Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
9.		Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
10.		Один из углов, образованный при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
11.		Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
12.		Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
13.		Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.
14.		Как с помощью линейки проверить, является ли прямым угол в чертежном угольнике (рис. 42)?
15.		Чему равен угол между биссектрисой, и стороной данного угла, равного: 1) 30°; 2) 52°; 3) 172°?
16.		Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°?
17.		Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°.
18*. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой утла.
19.		Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
20.		Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
21.		Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного: 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°.

А
Рис. 42
Рис. 43

32
7 класс
22?. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч 0D в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ (рис. 43). Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла АОВ? Объясните ответ.
23.		Из вершины развернутого угла (aai) в одну полуплоскость проведены лучи b и с. Чему равен угол (Ъс), если: 1) /-{аЪ)=±50°, А(ас) = 70°; 2) A(a,b) = 50°, A(ac) = 70°;
3)		A(ab) = 60°, Z(a,c) = 30°?
24.		Из вершины развернутого угла (aai) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что А(аЬ)=60°, а Z.(ас) = 30°. Найдите углы (a^b), (aic) и (be).
25.		От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и BAD. Найдите угол CAD, если: 1) /LBAC = 80°, Z.BAD = 170°; 2) Z.BAC = 87°, ABAD = 98°; 3) ZBAC = = 140°, ABAD = 30°; 4) ABAC = 60°, ZBAD = 70°.
26*. Даны три луча a, b, с с общей начальной точкой. Известно, что А(аЬ)— А(ас)= А(Ъс) = 120°. 1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами? 2) Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ.
§ 3, ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ч, Ч
20.		ПЕРВЫЙ! ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рио. 44

§ 3. Признаки равенства треугольников
33
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и А\В\С\ Z.A= АА\, АВ=А\В\, АС—А\С\ (рис. 44). Докажем, что треугольники равны.
Пусть А\ВоС2—треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В2 на луче А\В\ и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А\В\, где лежит вершина С| (рис. 45, а).
Так как А\В\=А\В2, то вершина В2 совпадает с вершиной В\ (рис. 45, б). Так как АВ\А\С\ = /LB2A\C2, то луч А\С2 совпадает с лучом A\Ct (рис. 45, в). Так как А1С1—А1С2, то вершина С 2 совпадает с вершиной С г (рис. 45, г).
Итак, треугольник А\В\С\ совпадает с треугольником А\В2С2, значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

2 Заказ 873
Рис. 45

34
7 класс
Ф
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке
О, которая является серединой каждого из них. Чему
равен отрезок BD, если отрезок АС=10 м?
Решение. Треугольники АОС
и BOD равны по первому признаку
равенства треугольников (рис. 46).
У них углы АОС и BOD равны как
вертикальные, а О А = ОВ и ОС=OD
потому, что точка О является се-
рединой отрезков АВ и CD. Из ра-
венства треугольников АОС и BOD
следует равенство их сторон АС и
BD. А так как по условию задачи
АС = 10 ы, то и JBD = 10 м.

Рис. 46
г\. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АКСИОМ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ
Как мы знаем, при доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами и доказанными ранее теоремами. Обычно в доказательстве ссылаются не на номер аксиомы по списку, а на ее содержание. Именно таким образом мы поступали в доказательстве первого признака равенства треугольников (теорема 3.1). Разберем еще раз это доказательство, указывая аксиомы, которые в нем используются.
Доказательство начинается словами: «Пусть A\B2C2— треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В2 на луче А|2?| и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А\В\, где лежит вершина С\». Такой треугольник, как мы знаем, существует по аксиоме VIII.
Далее утверждается совпадение вершин В\ и В2 на том основании, что А\В\=А\В2. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (аксиома VI).
Затем утверждается совпадение лучей AiC2 и А\С\ на том основании, что АВ\А\С\ = АВ2А\С2. Здесь используется аксиома откладывания углов (аксиома VII).

§ 3. Признаки равенства треугольников
35
Наконец, утверждается совпадение вершин С\ и Сг, так как А\С\=А2С2- Здесь снова используется аксиома VI.
Мы видим, что данное доказательство теоремы 3.1 опирается только на аксиомы.
22.		ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к пей углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим, к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и А\В\С\ — два треугольника, у которых АВ=А\В\, АА= АА\ и Z.B—АВ\ (рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
Пусть А1В2С2 — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вг на луче А\В\ и вершиной Сг в той же полуплоскости относительно прямой А\В\, где лежит вершина С |.
Так как А\В2=А\В\, то вершина Вг совпадает с вершиной В\. Так как AB\AiC2= АВ\А\С\ и АА\В\С2= = АА1В1С1, то луч А1С2 совпадает с лучом А1С1, а луч В1С2 совпадает с лучом В1С1. Отсюда следует, что вершина Сг совпадает с вершиной Си
Итак, треугольник А\В\С\ совпадает с треугольником А1В2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Рис. 47

30
7 класс
23.		РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется равнобедренным, если у него две
стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми
сторонами, а третья сторона называется основанием треуголь-
ника.
На рисунке 48 изображен равнобедренный треугольник АВС.
У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ.
Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного тре-
угольника). В равнобедренном треугольнике углы при основа-
нии равны.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный тре-
угольник с основанием АВ (рис. 48). Докажем, что у него
АА=АВ.
Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому
признаку равенства треугольников. Действительно, СА=СВ,
СВ=СА, АС— АС. Из равенства треугольников следует, что
АА= АВ. Теорема доказана.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется
равносторонним.
Задача (12). Докажите, что у равностороннего тре-
угольника все углы равны.
Р о ш е и и с. Пусть АВС — данный треугольник с рав-
ными сторонами: АВ—ВС — СА (рис. 49). Так как АВ—
=ВС, то этот треугольник равнобедренный с основанием
АС. По теореме 3.3 АС—АА. Так как ВС = СА, то.
треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. По
теореме 3.3 АА= АВ. Таким образом, АС— АА — АВ,
т. е. все углы треугольника равны.

С
С

А
В
А
В
Рис. 48
Рис. 49

§ 3. Признаки равенства треугольников
37

Рис. 50
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Теорема 3.4 (признак равно-
бедренного треугольника). Если в тре-
угольнике два угла равны, то он рав-
нобедренный.
Доказательство. Пусть АВС—
треугольник, в котором АА = АВ
(рис. 50). Докажем, что он равнобед-
ренный с основанием АВ.
Треугольник АВС равен тре-
угольнику ВАС по второму признаку
равенства треугольников. Действи-
тельно, АВ—ВА, АВ= A A, АА —
= АВ. Из равенства треугольников следует, что АС—ВС. Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный. Теорема доказана.
Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Задача (16). Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12.
Решение. В задаче 12 условие состоит в том, что треугольник равносторонний, а заключение — в том, что все углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема должна формулироваться так: если у треугольника все углы равны, то он равносторонний.
Докажем эту теорему. Пусть АВС — треугольник с разными углами: АА = АВ= АС. Так как АА — АВ, то по теореме 3.4 АС = СВ. Так как АВ= АС, то по теореме 3.4 АС=АВ. Таким образом, АВ=АС = СВ, т. е. все стороны треугольника равны. Значит, по определению треугольник АВС равносторонний.

38
7 класс
25.		ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.
На рисунке 51 вы видите два треугольника, у которых проведены высоты из вершин В и В\. На рисунке 51, а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 51, б — на продолжении стороны треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).
/

О)
Ю
Рис. 51

<0
с
а)
Рис. 52

$ 3. Признаки равенства треугольников
39
26.		СВОЙСТВО МЕДИАНЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — медиана, проведенная к основанию (рис. 53).
Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, потому что D — середина отрезка АВ.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: Z.ACD— ABCD, Z.ADC— ABDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD — высота треугольника. Теорема доказана.
.А Задача (28). Докажите, что биссектриса равнобед- С “у ренного треугольника, проведенная из вершины, противо- *—' лежащей основанию, является медианой и высотой.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — его биссектриса (рис. 54). Треугольники ACD и BCD равны по первому признаку. У них сторона CD общая, стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, а углы при вершине С равны, потому что CD — биссектриса. Из равенства треугольников следует равенство их сторон AD и BD. Значит, CD — медиана треугольника АВС. А по свойству медианы равнобедренного треугольника она является и высотой.

40
7 класс
27.		ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и AiBtCi—два треугольника, у которых АВ = А\В\, AC = A\Ci, ВС=В\С\ (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них ААФ АА\, АВФ АВ\, АСф АС\. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть А\В\С2 — треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С| относительно прямой А\В\ (см. рпс. 55).

Рис. 55
Пусть D — середина отрезка С\С2. Треугольники A\CtC2 и В\С\С2 — равнобедренные с общим основанием С\С2. Поэтому их медианы A\D и B\D являются высотами. Значит, прямые A\D и B\D перпендикулярны прямой С\С2. Прямые A\D и B\D не совпадают, так как точки А\, В\, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С\С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Задача (29). У треугольников АВС и AiBiCi АВ =
= AiBu AC = A\Ci, АС— АС{ =90°. Докажите, что
дАВС= ДА1В1С1.

§ 3. Признаки равенства треугольников
41

Рис. 56
Решение. Пусть АВС и А\В\С\ — данные треугольники (рис. 56). Построим треугольник CBD, равный треугольнику СВА, и треугольник C\D\B\, равный треугольнику С\А\В\.
Треугольники ABD и A\B\D\ равны по третьему признаку. У них АВ=А\В\ по условию задачи; AD=A\D\, так как АС=А\С\; BD=B\D\, так как BD=AB, B\D\ = =А\В\. Из равенства треугольников ABD и A\B\D\ следует равенство углов: /_А= АА\. Так как по условию АВ=А\В\, АС=А\С\, а АА= АА\, по доказанному, то треугольники АВС и А\В\С\ равны по первому признаку.
28.		КАК ГОТОВИТЬСЯ ПО УЧЕБНИКУ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Допустим, по какой-нибудь причине, например по болезни, вы не были на уроке. Тогда материал этого урока вам придется изучить самостоятельно по учебнику. Текст учебника надо читать не спеша, по предложениям, не переходя к следующему предложению, не поняв смысла предыдущего. Рассмотрим конкретный пример — доказательство третьего признака равенства треугольников. Итак, читаем текст учебника:
«Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника...»'
Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, что такое треугольник, его стороны и равенство сторон. Вы все это знаете, поэтому смысл прочитанного предложения вам ясен. Читаем дальше: «...то такие треугольники равны».
Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, какие треугольники называются равными. Но вы и это знаете. Таким

42
7 класс
образом, смысл теоремы вам ясен. Читаем доказательство.
Доказательство. «Пусть АВС и А\В\С\—два треугольника, у которых АВ=А\В\, AC=A\Ci, ВС=В\С\ (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.»
Здесь все ясно. Обозначаются треугольники, которые удовлетворяют условию теоремы и равенство которых надо доказать.
«Допустим, треугольники не равны».
Вы видите, что делается предположение, противоположное утверждению теоремы. Значит, в ходе дальнейшего рассуждения мы должны прийти к противоречию (доказательство от противного).
«Тогда у них ААф АА\, АВФ АВ\, АСФ АС\. Иначе они были бы равны по первому признаку».
Вспомните первый признак равенства треугольников. Убедитесь в том, что если выполнено хотя бы одно из равенств АА = АА\, АВ = АВ\, АС— АС\, то треугольники АВС и А\В\С\ равны, а ото противоречит сделанному предположению.
«Пусть А\В\С2 — треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С| относительно прямой А\В\ (см. рис. 55)».
Здесь все ясно. Этой фразой начиналось доказательство и первого и второго признаков.
«Пусть D — середина отрезка CiC2».
Вы знаете, что такое середина отрезка.
«Треугольники А\С\С2 и В\С\С2 равнобедренные с общим основанием CiC2».
Чтобы понять смысл этого утверждения, надо знать, какой треугольник называется равнобедренным и какая его сторона называется основанием.
«Поэтому их медианы A\D и B\D являются высотами».
Смысл этого предложения вам ясен. Вы знаете, что такое медиана и высота, и знаете свойство медианы равнобедренного треугольника.
«Значит, прямые A\D и B\D перпендикулярны прямой С1С2».
Ясно.
«Прямые А1D и B\D не совпадают, так как точки А,, 3,, D не лежат на одной прямой».

§ 3. Признаки равенства треугольников
43
Ясно. Если бы точка D лежала на прямой А\В\, то точки Ci и Сг были бы в разных полуплоскостях относительно прямой А\В\.
«Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую*.
Ясно. Вы знаете такую теорему.
«Мы пришли к противоречию*.
Ясно.
«Теорема доказана*.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Докажите первый признак равенства треугольников. Karate аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
2.		Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
3.		Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
4.		Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
5.		Какой треугольник называется равносторонним?
6.		Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
7.		Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
8.		Что такое высота треугольника?
9.		Что такое биссектриса треугольника?
10.		Что такое медиана треугольника?
11.		Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
12.		Докажите третий признак равенства треугольников.

ЗАДАЧИ
1.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?

44
7 класс

дикулярная прямой АВ (рис. 57). Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.
3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне А\В\ треугольника AiBiC] взята точка D\. Известно, что треугольники ADC и A\D\C\ равны и отрезки
.	. DB и DiBi равны. Докажите равенство треугольников АВС
■'	\ и А\В\С\.
\ 4.\Чтобы измерить, на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 58), выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Провешивают1 расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют-СО = АС и ЕС —СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните почему.

Рис. 59
Рис. 60
Отмечают направление шестами-вехами.

§ 3. Признаки равенства треугольников
45
5.
6.
7*
8.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 59).
Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если
известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО=СО.
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О (рис. 60).
Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если
известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО=СО.
Докажите равенство треугольников по медиане и углам,
на которые медиана разбивает угол треугольника.
Чтобы измерить на местности расстояние между двумя
точками А и В, из которых одна (точка Л) недоступна,
провешивают направление отрезка АВ (рис. 61) и на его
продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Вы-
бирают на местности точку D, из которой видна точка
А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают пря-
мые BDQ и EDF и отмеряют FD=DE и DQ=BD. Затем
идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут
точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HQ равно
искомому расстоянию. Докажите.
ериметр (сумма длин сторон) равнобедренного треуголь-
ника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину
боковой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а бо-
ковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м.
Найдите его стороны, если: 1) основание меньше боковой
стороны на 3 м; 2) основание больше боковой стороны
на 3 м.
Докажите, что у равностороннего треугольника все углы
равны.
От вершины С равнобедренного треугольника АВС с осно-
ванием АВ отложены равные отрезки: СА\ на стороне С А

Рио. 62
Рис. 61

46
7 класс
. и СВ\ на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: \ 1) CABi и СВ А г, 2) АВВх и ВААи \ 14. )На основании АВ равнобедренного треугольника АВС да- > J ни точки А| и В\. Известно, что АВ\=ВА\. Докажите, / N что треугольники АВ\С и ВА\С равны.
V 15.\ Треугольники АСС\ и ВСС\ равны. Их вершины А и В ле- жат по разные стороны от прямой СС\. Докажите, что
треугольники АВС и АВС\ равнобедренные (рис. 62).
Сформулируйте н докажите теорему, обратную утвержде-
на сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С\ и Сг. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если
треугольники АВС\ и ВАСг равны (рис. 63). i	1) Докажите, что середины сторон равнобедренного тре
угольника являются также вершинами равнобедренного . треугольника.
2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
19.		1) Начертите треугольник с острыми углами. С помощью чертежного угольника и линейки проведите в нем высоты. Повторите упражнение для треугольника, у которого один угол тупой.
2)		Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите в нем биссектрисы.
3)		Начертите треугольник. С помощью линейки с делениями проведите в нем медианы.
20.		Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
21.		Докажите, что у равных треугольников АВС и А\В\С\\ 1) медианы, проведенные из вершин А и А\, равны;

нию задачи 12.

С
Е

А
В
С
А
В О
Рио. 63
Рис. 64

5 3. Признаки равенства треугольников
47
2)		биссектрисы, проведенные из вершин А и А i, равны.
22.		Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием А В, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64).
23.		Докажите равенство треугольников по углу, бнссектри- се этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
lajf. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
I		/) проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Дока-
* жите равенство треугольников: 1) ABD и CBD; 2) AMD и CMD.
25.		Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.
26.		Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой.
27.		В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м.
28.		Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
29.		У треугольников АВС и AiBiCi АВ=А\В\, АС—А\С\, АС— ZCi = 90°. Докажите, что ААВС — AAiB\C\.
30.		Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
31.		Треугольники АВС и АВС\ равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСС\ и ВСС\.
32*. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ\ и АВЕ2 равны, то треугольники CDE\ и CDE2 тоже равны (рис. 65).
33.		Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.
34.		Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
35.		Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла АСВ (рпс. 66).

48
7 класс

36*. Докажите, что в задаче 35 прямые АВ и CD перпендикулярны.
37.		Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD делит отрезок АВ пополам.
38.		Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что AO = OD. Докажите равенство треугольников АВС и DCB.

39.		Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 68).
40.		Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.

S 4. Сумма углов треугольника
49
§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
29.		ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ
Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, парал-
лельны.
Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллельны
прямой с. Допустим, что прямые а и & не параллельны (рис. 69).
Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит, через
точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это
невозможно, так как через точку, не лежащую на данной пря-
мой, можно провести не более одной прямой, параллельной
данной. Теорема доказана.

Рис. 69
Рис. 70

Задача (4). Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD (рис. 70).
Решение. Пусть X — точка пересечения отрезка ВС с прямой AD. Проведем через нее прямую х, параллельную прямой АВ. Она будет параллельна и прямой CD. Прямая д; разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок ВС пересекает прямую х (в точке X). Точка А лежит в той же полуплоскости, что и В, а точка D — в той же полуплоскости, что и С. Поэтому отрезок AD пересекает прямую х. А точкой пересечения является точка X отрезка ВС.

50
7 класс
30.		УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
Пусть АВ и CD — две прямые и АС — третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 71). Прямая АС по отношению к прямым АВ и CD называется секущей.

Рис. 71
Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, имеют специальные названия.
Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, с).
Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лехсащими (рис. 71, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например Z1 и Z 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: Z3 п Z4 (рис. 72).
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например Z1 и Z2, и пара внутренних односторонних углов, например Z2 и

§ 4. Сумма углов треугольника
51
Z. 3, имеют один угол общий —
Z2, а два других угла смеж-
ные: Z1 и Z3.
Поэтому если внутренние на-
крест лежащие углы равны, то
сумма внутренних односторонних
углов равна 180°. И обратно: если
сумма внутренних односторонних
углов равна 180°, то внутренние
накрест лежащие углы равны.
31.		ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ	/ f
Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если
внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутрен-
них односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые о и Ъ образуют с
секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы
(рис. 73, а). Допустим, прямые а и & не параллельны, а зна-
чит, пересекаются в некоторой точке С (рис. 73, б).

Рис. 72

Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАС\, равный треугольнику АВС, с вершиной С i в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных а, Ь и секущей АВ равны. Так как соответствующие углы треугольников АВС и ВАС с вершинами А и. В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая АС\ совпадает с прямой а, а прямая ВС\

52
7 класс
совпадает с прямой Ь. Получается, что через точки С и С\ проходят две различные прямые а и Ъ. А это невозможно. Значит, прямые о и Ь параллельны.
Если у прямых а и Ь и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей.
Углы 1 и 2 на рисунке 74 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3 соответственные.
Из равенстства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны.

Задача (8). Даны прямая АВ и точка С, не лежа-
щая на этой прямой. Докажите, что через точку С мож-
но провести прямую, параллельную прямой АВ.
Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две
полуплоскости (рис. 75). Точка В лежит в одной нз них.
Отложим от полупрямой СА в другую полуплоскость угол
ACD, равный углу САВ. Тогда прямые АВ и CD будут

S 4. Сумма углов треугольника
53
параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС углы ВАС и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые АВ и CD параллельны.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
32.		СВОЙСТВО УГЛОВ,
ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ	/	,
Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллель-
ные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест
лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних уг-
лов равна 180°.
Доказательство. Пусть а
и Ъ — параллельные прямые и с —
прямая, пересекающая их в точках
А и. В. Проведем через точку А
прямую а\ так, чтобы внутренние
накрест лежащие углы, образован-
ные секущей с с прямыми a i и Ь,
были равны (рис. 76).
По признаку параллельности
прямых прямые а\ и Ь параллель-
ны. А так как через точку А про-
ходит только одна прямая, параллельная прямой Ь, то пря-
мая а совпадает с прямой а\.
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми а и Ъ, равны. Теорема доказана.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что^если прямая перпенди-\Щ кулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

54
7 класс

Задача (13). Прямые АС и BD параллельны, причем
точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС
(рис. 77). Докажите, что: 1) углы DBC и А СВ внутренние
накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС
проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и
DBA внутренние односторонние относительно секу-
щей АВ.
Решение. 1) Углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие потому, что точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС.

2)		Луч ВС проходит между сто-
ронами угла ABD потому, что он
пересекает отрезок AD с концами
на сторонах угла (задача 4).
3)		Углы САВ и DBA внутрен-
ние односторонние потому, что
точки С п D лежат по одну сторону
от секущей АВ, а именно в полу-
плоскости, где лежит точка X пере-
сечения отрезков ВС и AD.
33.		СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник.
Проведем через вершину В прямую, параллельную пря-
мой АС. Отметим на ней точку D
так, чтобы точки А и D лежали
по разные стороны от прямой ВС
(рис. 78).
Углы DBC и АСВ равны как
внутренние накрест лежащие, об-
разованные секущей ВС с парал-
лельными прямыми АС и BD.
Поэтому сумма углов треугольни-
ка при вершинах В и С равна углу
ABD.

Рис. 78

§ 4. Сумма углов треугольника
55
А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных АС и BD и секущей АВ, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 4.4 следует, что у любого треугольника хотя бы два угла острые.
Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Задача (30). Чему равны углы равностороннего тре-
угольника?
Решении У равностороннего треугольника, как мы
знаем, все углы равны. Так как они в сумме дают 180°, то
каждый из них равен 60°.
34. ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Внешним, углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).
Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.

Рис. 79

56
7 класс

Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника
ZA+Z£+ZC = 180°.
Отсюда следует, что
Zn+ZB = 180c-ZC.
В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Задача (35). В треугольнике АВС проведена высо-
та CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между дву-
мя другими точками, если углы А а В треугольника
острые?
Решение. Точка В не может лежать между точками
А и D. Если бы она лежала между точками А и D
(рис. 81), то острый угол АВС как внешний угол тре-
угольника CBD был бы больше прямого угла CDB. Точно
так же доказывается, что и точка А не может лежать меж-
ду точками В и D. Значит, точка D лежит между точка-
ми А и В.

S 4. Сумма углов треугольника
57
35.		ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° — 90° = 90°.
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).

Отметим следующий признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету:
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 83).
Доказательство этого признака дано в виде решения задачи 29 к § 3.

Задача (43). Докажите, что в прямоугольном тре-
угольнике с углом 30° катет, противолежащий этому
углу, равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть А ВС — прямоугольный треуголь-
ник с прямым углом С и углом В, равным 30° (рис. 84).
Построим треугольник DBC, равный треугольнику АВС,
как показано на рисунке 84.

58
7 класс

В
D
С
А Рис. 84
У треугольника ABD все углы равны (60°), поэтому
пряной, потно опустить на зту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую Ъ. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.
Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,
он равносторонний. Так как АС—-—AD, a AD=AB,
А
то АС=-^-АВ. Что и требовалось доказать.
36.		СУЩЕСТВОВАНИЕ М ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПёРПЕНДН1СУЛЯРА К ПРЯМОЙ

Рис. 85
Рис. 86

$ 4. Сумма углов треугольника
59
существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника АВС будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Задача (50). Докажите, что расстояния от любых
двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Решение. Пусть а и Ъ — параллельные прямые и А,
А\ — любые точки на прямой а (рис. 86). Опустим из
точки А\ перпендикуляр А\В\ на прямую Ъ. Отложим из
точки В\ на прямой Ъ отрезок В\В, равный отрезку АА\,
так, чтобы точки A i и В были по разные стороны прямой
АВи
Тогда треугольники АВ\А\ и В\АВ равны по первому признаку. У них сторона ABi общая, АА\ =ВВ\ по построению, а углы В\АА\ и АВ\В равны как внутренние накрест лежащие параллельных о п Ь с секущей АВ\.
Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой Ъ и АВ=А\Ви что и требовалось доказать.
Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые равноотстоящие.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
37.		ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЙ ГЕОМЕТРИИ
Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые спойства геометрических фигур можно вывести нз других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.
Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических фигур, которые берутся непосредственно из опыта. Утверждения оставшихся без дока

60
7 класс
зательства свойств стали аксиомами.
Таким образом, аксиомы имеют опытное
происхождение.
Геометрия в ранний период своего
развития достигла особенно высокого
уровня в Египте. В первом тысячелетии
до нашей эры геометрические сведения
от египтян перешли к грекам. За период
с VII по III век до нашей эры гре-
ческие геометры не только обогатили
геометрию многочисленными новыми
теоремами, но сделали также серьезные
шаги к строгому ее обоснованию. Мно-
говековая работа греческих геометров
за этот период была подытожена
Евклидом (330—275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде
«Начала».
Изложение геометрии в «Началах» Евклида построено на системе аксиом. Эта система аксиом отличается от системы аксиом, принятой в данном учебнике. Но в ней также есть акеио-
11144. AAi4pt4«<4*lV"
Аксиома параллельных в отличие от других аксиом не подкрепляется наглядными соображениями. Может быть, поэтому со времен Евклида математики многих стран пытались доказать ее как теорему. Но это никому не удавалось. Наконец, в XIX веке было доказано, что это невозможно сделать. Первым, кто обоснованно высказал это утверждение, был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский.

II. И. Лобачевский — русский математик (1702—1856)
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ о
1.		Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
2.		Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
3.		Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
■>Ч

§ 4. Сумма углов треугольника
61
4.		Докажите признак параллельности прямых.
5.		Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.
6.		Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
7.		Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
8.		Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
9.		Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.
10.		Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
11.		Что такое внешний угол треугольника?
12.		Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
13.		Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
14.		Какой треугольник называется прямоугольным?
15.		Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
16.		Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
17.		Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
18.		Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
19.		Что называется расстоянием от точки до прямой?
20.		Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.

ЗАДАЧИ
1.		Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2.		Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.

62
7 класс
3.		Дано: а|'|Ь||с||4. Докажите, что a||<f.
4.		Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD (см. рис. 70).
5.		Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка Bi, а на стороне АС — точка С\ (рис. 87). Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В\С\.
6.		Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке 72.
7.		Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ.
8.		Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.
9.		Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
10.		Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докаяште, что прямые АС и BD параллельны.
11.		Треугольники АВС и BAD равны. Точки С и D леясат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
12.		Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли прямые АВ н CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.
13.		Прямые АС и BD параллельны, причем точки AnD лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.
14.		1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы.
2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°. Чему равны эти углы?
15.		Одни из углов, которые нолучиюхея при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов.
16.		Одни из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.

§ 4. Сумма углов треугольника
63
17.		Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
18.		Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны: 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°;
4)		25° и 120°.
19.		Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6;
5)		5, б, 7.
20.		Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
21.		Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
22.		Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен:
1)		40°; 2) 65°; 3) 72°.
23.		Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами равен: 1) 80°;
2)		120°; 3) 30°.
24.		Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.
25.		Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
26.		Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
27.		В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен: 1) 60°; 2) 75°; 3) а.
28.		В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CD А и ADB равнобедренные (рис. 88).

Рис. 87
Рис. 88

64
7 класс
В

29.		В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если: 1) ZA = 50°, ZB = 100°; 2) ZA = a, ZB— P; 3) ZC = 130°; 4) ZC=y.
30.		Чему равны углы равностороннего треугольника?
31.		Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?
32.		Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника.
33.		Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
34.		Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол.
35.		В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
36.		В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ.
37.		Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
38.		Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А н В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
39.		Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD=AB и СЕ—СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
40.		У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника.
41.		Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBD, зная, что: 1) ZA — 20°; 2) ZA = 65°; 3) ZA = а.

65
§ 5. Геометрические построения
\ 42.1 Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD, зная, что ZA = a, ZB = р.
43.		Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
44.		Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
45.		В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана _ AD. Найдите углы треугольника ABD.
■ 4бГ Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ZAMC, если ZA = 70°, ZC = 80°.
47*. В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника.
48.		Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.
49.		Отрезок ВС пересекает прямую о в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.
50.		Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
51.		Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
38.		ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется фигура,
которая состоит из всех точек плос-
кости, равноудаленных от данной
точки. Эта точка называется центром
, окружности.
Расстояние от точек окружности
до ее центра называется радиусом
окружности. Радиусом называется
также любой отрезок, соединяющий
точку окружности с ее центром (рис. 90).

3 Заказ 8Т8

66
7 класс
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 91 ВС — хорда, AD — диаметр.

Задача (3). Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Р е ш е н н е. Пусть АВ — хорда окружности и С — ее середина (рис. 92). Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. У него стороны О А и ОВ равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок ОС является высотой. Поэтому диаметр окружности, проведенный через середину хорды, перпендикулярен хорде.
39.		ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины зтих сторон.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник и О — центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны ОА и ОС

S 5. Геометрические построения
67
равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Задача (6). Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Решение. Пусть АВС — треугольник и о, b — серединные перпендикуляры к его сторонам АС и ВС (рис. 94). Допустим, прямые а и Ь не пересекаются, а значит, параллельны. Прямая АС перпендикулярна прямой а. Прямая ВС перпендикулярна прямой Ь, а значит, и прямой а, так как прямые а и Ъ параллельны. Таким образом, обе прямые АС и ВС перпендикулярны прямой а, а значит, параллельны. Но это неверно. Прямые АС и ВС пересекаются в точке С. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.

68
7 класс
40.		КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, -называется касательной. При этом данная точка окружности -называется точкой касания.
На рисунке 95 прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая о является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.

Задача (8). Докажите, что касательная к окружности
-не имеет с ней других общих точек, кроме точки ка-
сания.
Решение. Пусть а — касательная к окружности в
точке А (рис. 96). Допустим, касательная и окружность
имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от
А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ.
У -него боковые стороны О А и ОВ — радиусы окруж-
ности. Так как у равнобедренного треугольника углы
при основании равны, а угол при вершине А прямой,
то у этого треугольника два прямых угла. А это -не-
возможно. Мы пришли к противоречию. Утверждение
доказано.

§ 5. Геометрические построения
69

Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).
41.		ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК
Окружность называется вписанной в треугольник, если она
касается всех его сторон.
Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треуголь-
ник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник,
О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки
касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные
треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету.
У них гипотенуза АО общая, а ка-
теты OD и ОЕ равны как радиусы.
Из равенства треугольников следу-
ет равенство углов OAD и ОАЕ.
А это значит, что точка О лежит
на биссектрисе треугольника, про-
веденной из вершины А. Точно так
же доказывается, что точка О ле-
жит на двух других биссектрисах
треугольника. Теорема доказана.

Рис. 98

70
7 класс
42.		ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на дан- ■ной прямой от данной точки.
Рассмотрим простейшие задачи на построение.
43.		ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ
Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами а, Ъ, с (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В (рис. 99, б).
©■
С
•9

6
■о
©■
а
а)
9

*)
Рис. 99

§ 5. Геометрические построения
71
Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, описываем окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АВ и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные с, Ъ, с.
44.		ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ
Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис. 100, а). Пусть В я С — точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данной полупрямой (рис. 100, б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В\. Опишем окружность с центром В\ и радиусом ВС. Точка С\ пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и ОВ\С\ равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А я О являются соответствующими углами этих треугольников.

72
7 класс
AS. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА
Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины А данного угла как из центра опи-
сываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть
В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек
В и С тем же радиусом описываем
окружности. Пусть D — точка их
пересечения, отличная от А. Про-
водим полупрямую AD.
Луч AD является биссектрисой,
так как делит угол ВАС пополам.
Это следует из равенства тре-
угольников ABD и ACD, у которых
углы DAB и DAC являются соот-
Рнс. 101	ветствующими.

46.		ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ
С
Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 102). Из
точек А и В радиусом АВ описываем окружности. Пусть С и
С| — точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных
полуплоскостях относительно пря-
мой АВ. Отрезок CCi пересекает
прямую АВ в некоторой точке О.
Эта точка есть середина отрезка АВ.
Действительно, треугольники
САС\ и СВС\ равны по третье-
му признаку равенства треуголь-
В ников. Отсюда следует равенство
углов АСО и ВСО. Треугольники
АСО и ВСО равны по первому
признаку равенства треугольников.
Стороны АО и ВО этих треуголь-
ников являются соответствующи-
ми, а поэтому они равны. Таким
образом, О — середина отрезка АВ.

5 5. Геометрические построения
73
47.		ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ
Задача 5.5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая:
1)		точка О лежит на прямой а;
2)		точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис. 103),С\
Из точки О проводим произвольным рйдйусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: Л и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.
Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Рис. 103	Рнс. 104
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А -а. В — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть 0\ — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О]. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и 00|. Треугольники АОВ и АО\В равны по третьему признаку.

74
7 класс
Поэтому угол ОАС равен углу OiAC. А тогда треугольники ОАС и 0\АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО\ равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.
48.		ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК
Одним из методов решения задач на построение является
метод геометрических мест.
Геометрическим местом точек называется фигура, которая
состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным
свойством.
Например, окружность можно определить как геометричес-
кое место точек, равноудаленных от данной точки.
Важное геометрическое место точек дает следующая тео-
рема:
Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудален-
ных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная
к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его
середину.
Доказательство. Пусть А и В — данные точки, с —
прямая, проходящая через середину О отрезка АВ перпен-
дикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1)		каждая точка прямой а равноудалена от точек А и Б;
2)		каждая точка D плоскости,
равноудаленная от точек А и В, лежит
на прямой а.
То, что каждая точка С прямой а
находится на одинаковом расстоянии
от точек А и Б, следует из равенства
треугольников АОС и БОС. У этих
треугольников углы при вершине О
прямые, сторона ОС общая, а АО=ОБ,
так как О — середина отрезка АВ.
Покажем теперь, что каждая точ-
В ка D плоскости, равноудаленная от
точек А и Б, лежит на прямой
а. Рассмотрим треугольник ADB. Он

S 5. Геометрические построения
75
равнобедренный, так как AD = BD. В нем DO — медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой а. Теорема доказана.
49.		МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура Fi, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F\ и F2, т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X. Приведем пример.
Л. Задач а^(43)/^(аны три точки: А, В, С. Постройте С ) точку X, которая” одинаково удалена от точек А и .В и на- 1 ходится на данном расстоянии от точки С._
Решение. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 106). Геометрическое место точек,

76
7 класс
удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест.
9
о
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

1.
о
3.
4.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Что такое хорда окружности? Какая хорда называется
диаметром?
Какая окружность называется описанной около треуголь-
ника?
Докажите, что центр окружности, описанной около тре-
угольника, лежит на пересечении серединных перпенди-
куляров к сторонам треугольника.
Капая прямая называется касательной к окружности?
Что значит: окружности касаются в данной точке?
Какое касание окружностей называется внешним, какое —
внутренним?
Какая окружность называется вписанной в треуголь-
ник?
Докажите, что центр окружности, вписанной в треуголь-
ник, лежит на пересечении его биссектрис.
Объясните, как построить треугольник по трем сторо-
нам.
Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную
полуплоскость угол, равный данному углу.
Объясните, как разделить данный угол пополам.
Объясните, как разделить отрезок пополам.
Объясните, как через данную точку провести прямую,
перпендикулярную данной прямой.
Что представляет собой геометрическое место точек, равно-
удаленных от двух данных точек?
ЗАДАЧИ
Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
Докажите, что диаметр окружности, пррходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3.

§ 5. Геометрические построения
77
5.		1) Из точки данной окружности
проведены диаметр и хорда, равная
радиусу. Найдите угол между ни-
ми (рис. 107).
2) Из точки данной окружности
проведены две хорды, равные ра-
диусу. Найдите угол между ними.
6.		Докажите, что серединные перпен-
дикуляры к двум сторонам тре-
угольника пересекаются.
7.		Может ли окружность касаться
прямой в двух точках? Объясните
ответ.	Рис. 107
8.		Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
9.		Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А1
10.		Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
11.		Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний.
12.		Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
13*. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
14*. 1) Окружности с центрами О и Оi пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой OOi.
2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
15*. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС—АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.
2)		Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
3)		Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.

78
7 класс

16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.
2)		Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
17.		Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.
18.		Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его
сторон в точках А|, В\, С\ (рис. 109). Докажите, что
„„ АВ+АС-ВС АС\ =			.
19.		Постройте треугольник по трем сторонам а, Ъ и с:
1)		а = 2 см, 6 = 3 см, с = 4 см; 2) а = 3 см, 6 = 4 см, с=5 см;
3)		а = 4 см, 6 = 5 см, с = 6 см.
20.		Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.
21.		Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
22.		Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
23.		Постройте треугольник АВС по следующим данным:
1)		по двум сторонам и углу между -ними:
а)	АВ=5 см, АС=6 см, Z.A = 40°;
б)	АВ=3 см, ВС = 5 см, АВ — 70°;
2)		по стороне и прилежащим к ней углам:
а)	АВ=6 см, АА = 30°,	АВ=50°;
б)	АВ=4 см, АА = 45°, Z.B=60°.
24.		Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них:
1)		а—6 см, 6=4 см, а = 70°;
2)		а=4 см, 6 = 6 см, 0 = 100°.

f б. Геометрические построения
79
25.		Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
2в. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.
27.		Разделите угол на четыре равные части.
28.		Постройте углы 60° и 30°.
29.		Дан треугольник. Постройте его медианы.
30.		Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
31.		Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
32.		Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (рис. 110).

33.		Дан треугольник. Постройте его высоты.
34.		Постройте окружность, описанную около данного треугольника.
35.		Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
36.		Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
37.		Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
38.		Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
39.		Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.
40.		Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
41.		Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние Л, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от -нее -на Л.

80
7 класс
42.		На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
43.		Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
44.		На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
45.		Даны четыре точки: А, В, С, D. Найдите точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.
46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис. 111).
47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
48*. -Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и Гипотенузы.
49*. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С касания лежит -на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого OA=ABf OB = 2R.
2)		Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям (рис. 113).

Рис. ill
В

Рис. 112
Рис. ИЗ

8 класс
§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
50.		ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника.

Задача (1). На рисунках 114—116 представлены
три фигуры, каждая из которых состоит из четырех то-
чек и четырех последовательно соединяющих их отрез-
ков. Какая из этих фигур является четырехугольником?

Рис. 114
Рис. 115

82
8 класс
Решение. Четырехугольником является только фигура на рисунке 116, так как у фигуры на рисунке 114 точки А, В, С лежат на одной прямой, а у фигуры на рисунке 115 отрезки ВС и AD пересекаются.
В

Рис. 116

Вершины четырехугольника называются соседними, если о пи являются концами одной из его сторон. Вершины, но являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
У четырехугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, -не имеющие общего конца, -называются противолежащими сторонами.
У четырехугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны АВ и CD, ВС и AD.
Четырехугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырехугольник на рисунке 117 обозначается так: ABCD. В обозначении четырехугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырехугольник ABCD -на рисунке 117 можно также обозначить BCD А или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины).
Сумма длин всех сторон четырехугольника -называется периметром.

§ в. Четырехугольники
83
51.		ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118).
Теорема 6.1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четырехугольник и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 119).
Треугольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, a OD=OB и О А —ОС по условию теоремы.
Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутрен- •ними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и CD с помощью равенства треугольников АОВ и COD.
Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана.

52.		СВОЯСТВО ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ BD. Отметим на

84
8 класс
ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС\, равный АО.
По теореме 6.1 четырехугольник ABC\D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС\ параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС\ совпадает с прямой ВС.
Точно так же доказывается, что прямая DC\ совпадает с прямой DC.
Значит, точка С i совпадает с точкой С. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC\D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключений между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 121). Треугольники ОАЕ и OCF равны по второму признаку. У них стороны О А и ОС равны, так как О — середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и FCO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.
Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE=OF, что и требовалось доказать.

§ 6. Четырехугольники
85
53.		СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть О — точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а О А—ОС и OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.
Равенство противолежащих углов АВС и CDA следует из равенства треугольников АВС и CDA (по трем сторонам). У них AB—CD и BC—DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.

Задача (18). Докажите, что если у четырехуголь-
ника две стороны параллельны и равны, то он является
параллелограммом.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехуголь-
ник, у которого стороны АВ и CD параллельны и равны
(рис. 123). Проведем через вершину В прямую Ъ, парал-
лельную стороне AD. Эта прямая пересекает луч DC в не-
которой точке С|. Четырехугольник ABC\D есть парал-

8 класс
86
лелограмм. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то C\D — AB. А по условию АВ = =CD. Значит, DC=DC\. Отсюда следует, что точки С и СI совпадают.
Таким образом, четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABCiD, а значит, является параллелограммом.
54.		ПРЯМОУГОЛЬНИК
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124).
Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны. Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник (рис. 125).

Рис. 124	Рис. 125
Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников BAD и CD А. У них углы BAD и CD А прямые, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.

Задача (24). Докажите, что если у параллелограмма
все углы равны, то он является прямоугольником.
Решение. Углы параллелограмма, прилежащие
к одной стороне, являются внутренними односторонними
(рис. 126), поэтому их сумма равна 180°. Так как по

5 S. Четырехугольники
87
J		^	
	г	
условию задачи эти углы равны, то каждый из них прямой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник.
55.		РОМБ
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 127).
Рис. 127

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под пря-
мым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его
углов.
Доказательство. Пусть ABCD — данный ромб (см.
рис. 127), О — точка пересечения его диагоналей. По свойству
параллелограмма АО=ОС. Значит, в треугольнике АВС отре-
зок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ=ВС
и треугольник АВС — равнобедренный. По свойству равнобед-
ренного треугольника медиана, проведенная к его основанию,
является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ
BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали
АС. Теорема доказана.
Задача (33). Докажите, что если у параллело-
грамма диагонали перпендикулярны, то он является
ромбом.
Ф

88
8 класс
Решение. Пусть ABCD —
параллелограмм с перпендикуляр-
ными диагоналями и О — точка пе-
ресечения диагоналей (рис. 128).
Треугольники АОВ и AOD равны
по первому признаку равенства
треугольников. У них углы при
вершине О по условию прямые,
сторона АО общая, a OB=OD
по свойству диагоналей паралле-
лограмма. Из равенства треугольников следует равенство
сторон AB=AD. А по свойству противолежащих сторон
параллелограмма AD=BC, AB=CD.
Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он есть ромб.

56.		КВАДРАТ
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 129).
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба:
1.		У квадрата все углы прямые.
2.		Диагонали квадрата равны.
3.		Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Рис. 129
Рис. 130

5 6. Четырехугольники
89

Задача (40). Докажите, что если диагонали прямо-
угольника пересекаются под прямым углом, то он есть
квадрат.
Решение. Так как прямоугольник есть параллело-
грамм, а параллелограмм с перпендикулярными диагона-
лями есть ромб (задача 33), то у рассматриваемого
прямоугольника все стороны равны (рис. 130). По опре-
делению такой прямоугольник есть квадрат.
57.		ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и па другой его стороне (рис. 131).

Доказательство. Пусть Ai, А2, Аз — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и Аз лежит между А\ и Аз (рис. 131). Пусть В\, В2, В3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А\А2=А2Аз, то В1В2=В2В3.
Проведем через точку В2 прямую EF, параллельную прямой А\Аз. По свойству параллелограмма A\A2=FB2, А2А2 = =В2Е. И так как А\А2=А2А3, то FB2=B2E.
Треугольники B2B\F и В2В3Е равны по второму признаку. У них B2F = B2E по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы B2FB\ и В2ЕВ3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А\В\ и А3В3 и секущей EF.

90
8 класс

Фалес Милетский •— древнегреческий ученый (VI в. до и. в.)
Из равенства треугольников следует
равенство сторон: В\Вг=В?Вз. Теорема
доказана.
Замечание. В условии теоремы
Фалеса вместо сторон угла можно
взять любые две прямые, при этом
заключение теоремы будет то же:
параллельные прямые, пересекаю-
щие две данные прямые и отсекающие
на одной прямой равные отрезки,
отсекают равные отрезки и на другой
прямой.
Иногда теорема Фалеса будет при-
меняться и в такой форме.

Задача (48). Разделите данный отрезок АВ на п рав-
ных частей.
Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис. 132). Отложим на полупрямой а равные отрезки: ААi, А1А2, А2А3, ...» An-iA„. Соединим точки Ап и В. Проведем через точки А\, Ац .... АП-1 прямые, параллельные прямой АпВ. Они пересекают отрезок АВ в точках В\, В2, ..., Вп-\, которые делят отрезок АВ на п равных отрезков (по теореме Фалеса).

Рис. 132

§ 6. Четырехугольники
91
58.		СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть DE — средняя линия треугольника АВС (рис. 133). Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ.
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм. По свойству параллелограмма ED=AF, а так как AF=FB по теореме Фалеса, то ED—^-AB. Теорема доказана.
С

Рис. 134

Задача (55). Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник и Е, F, G, Н — середины его сторон (рис. 134). Отрезок EF — средняя линия треугольника АВС. Поэтому ЕР || || АС. Отрезок GH — средняя линия треугольника ADC. Поэтому GH\\AC. Итак, EF || GH, т. е. противолежащие стороны EF и GH четырехугольника EFGH параллельны. Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник EFGH — параллелограмм.

92
8 класс
59.		ТРАПЕЦИЯ
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.
На рисунке 135 вы видите трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и боковыми сторонами ВС и AD.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, -называется средней линией трапеции.
С D	В	С

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 136). Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в -некоторой точке Е.
Треугольники РВС и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP = DP по построению, углы при вершине >Р равны как вертикальные, а углы РСВ и РОЕ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. 1Ц равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, BC=ED.
Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника PQ\\AE и отрезок
PQ=±-AE=±-(AD+BC).
Теорема доказана.

§ 6. Четырехугольники
93

Задача (60). Докажите, что у равнобокой трапеции
углы при основании равны.
Решение. Пусть ABCD — равнобокая трапеция
(рис. 137). Докажем, что углы трапеции при основа-
нии CD равны.
А	В

Проведем через вершину В прямую, параллельную стороне AD. Она пересечет луч DC в некоторой_точке Е. Четырехугольник ABED — параллелограмм. По свойству параллелограмма BE=AD. По условию AD=BC (трапеция равнобокая), значит, треугольник ВСЕ равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершинах Е и D равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому /LADC= Z.BCD. Утверждение доказано.
60.		ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ
Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В\, С\ соответственно (рис. 138). Теоремой утверждается, что
АС АВ	у '
Докажем сначала равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длины б, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС\. Пусть АС=пЬ, АС\ = ~ mb и п > т. Разобьем отрезок АС на п равных частей (дли

94
8 класс
ны б). При этом точка С\ будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины б|. Имеем:
АВ — пЬ 1, АВ\ = тЬ\.
Мы видим, что
АС| т __ АВ|	т
АС ~~ “ АВ ~п~ '
Значит,
АС\	АВ\
АС АВ ’
что и требовалось доказать.
Докажем теорему в общем случае (не для запоминания). До-
ACi	АС\ .. ABi
пустим, что — =£—, например, что

Отложим на луче АС отрезок АСг=^;‘АВ\ (рис. 139).
АН
При этом ACi<iAC\. Разобьем отрезок АС на большое число п равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные ВС.
При достаточно большом п на отрезке С1С2 будут точки деления. Обозначим одну из них через У, а соответствующую точку на отрезке АВ\ через X. По доказанному
AY _ АХ АС АВ *

4
§ 6. Четырехугольники	95
Заменим в этом равенстве величину AY меньшей величиной АСг, а величину АХ большей величиной АВ\. Получим:
ACt ^АВ\
АС	*
Отсюда АС2<-^т-АВи Но АСч=^->АВ\> Мы пришли к
Ай	Ай
противоречию. Теорема доказана.
61.		ПОСТРОЕНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ОТРЕЗКА
Задача 6.1. Даны отрезки а, Ь, с. Построить отрезок
х=—.
а
Решение. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис. 140). Откладываем на одной стороне угла отрезки О А = о и ОВ = Ь, а на другой стороне отрезок ОС = с. Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую BD через точку В. Отрезок OD = x.
Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках
оа ос
OB ~OD ■
Отсюда
лл	ОВ*ОС Ь*с
ии~ ОА ~~л
Таким образом, отрезок OD есть искомый отрезок х.
Замечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Это название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а:Ь = с:х.
О
А
В
Рис. 140

96
8 класс

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Какая фигура называется четырехугольником?
2.		Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие — противолежащими?
3.		Что такое диагонали четырехугольника?
4.		Какие стороны четырехугольника -называются соседними? Какие называются противолежащими?
5.		Как обозначается четырехугольник?
6.		Что такое параллелограмм?
7.		Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
8.		Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
9.		Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
10.		Что такое прямоугольник?
11.		Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
12.		Что такое ромб?
13.		Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
14.		Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата.
15.		Докажите теорему Фалеса.
16.		Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.
17.		Какой четырехугольник -называется трапецией?
18.		Какая трапеция -называется равнобокой?
19.		Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
20.		Докажите теорему о пропорциональных отрезках.
ЗАДАЧИ
1.		На рисунках 114—116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником?
2.		Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
3.		Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках,-не лежащих на одной прямой? Постройте их.

§ 6. Четырехугольники
97
4.		Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из трчки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
5.		Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ.
6.		Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
7.		В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки BE=2 м и AF = 2,8 м. Найдите стороны ВС и AD.
8.		У параллелограмма ABCD ЛВ=10 см, ВС = 15 см. Чему равны стороны AD и CD? Объясните ответ.
9.		У параллелограмма ABCD Z.A = 30°. Чему равны углы В, С, D? Объясните ответ.
10.		Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
11.		Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
12.		Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
13.		Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°?
14.		Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
15.		Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
16.		Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
17.		В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны ВС, a F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм.
18.		Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
19.		В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки BE и ЕС, если АВ — 9 см, AD — lb см?
20.		Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
4 Заказ 878

98
8 класс

21.		В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
22.		Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
23.		Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
24.		Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то оп является прямоугольником.
25.		Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
26.		Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
27.		Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты?
28.		Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
29.		В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны -на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
30.		Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
31.		В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол (рис. 141). Найдите периметр прямоугольника.
32.		В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 142). Чему

§ 6. Четырехугольники
99
равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
33.		Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
34.		Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
35.		Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба.
36.		Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
37.		В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.
38.		Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
39.		Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
40.		Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
41.		В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
42.		Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки: AA\=BB\ = CC\=DD\. Докажите, что четырехугольник A\B\C\D\ есть квадрат (рис. 143).
43.		Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
44.		Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
45.		В квадрат (рис. 144) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина

100
8 класс
прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
46.		В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
47.		Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
48.		Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.
49.		Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3) 6.
50.		Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
51.		Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
52.		Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
53.		Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
54.		Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
55.		Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
56.		Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
57.		У четырехугольника диагонали равны а и Ь. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
58.		Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
59.		Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
60.		Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
61.		Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°?

§ 6. Четырехугольники
101
yQ2. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между -ними 60е. Найди- \^/ те меньшее основание.
63.		В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
64*. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 145). Найдите углы трапеции.
65.		По одну сторону от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
66.		По разные стороны от прямой а даны две точки А я В на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
67.		Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
68.		Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
69.		Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
70.		Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины а и Ъ (а>Ь). Найдите среднюю линию трапеции.
71*. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
72*. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
73*. Даны отрезки а, Ъ, с, d, е. Постройте отрезок
74*. 1) В треугольнике АВС проведены медианы АА\ и ВВи которые пересекаются в точке М (рис. 146). В треугольнике

Рис. 145
Рис. 146

102
8 класс
АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A\B\PQ — параллелограмм.
2)		Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
3)		Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
62.		КОСИНУС УГЛА
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла а обозначается так: cos а. На рисунке 147 показан прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным а. Косинус угла а равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т. е.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит толъко\от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треуголь- ника,	I
Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с
I
одним и тем же острым углом косинусы это^о угла равны.
Доказательство. Пусть АВС и A'B'Q' —/два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А', равным а (рис. 148). Требуется доказать, что
А'С' ___ АС А'В'	АВ ‘

Рис. 147
Рис. 148

§ 7. Теорема Пифагора
103
Построим треугольник AB\Ci, равный треугольнику А'В'С', как показано на рисунке 148. Так как прямые ВС и В\С\ перпендикулярны прямой АС, то они параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках
ас, _ АС АВ, ~ АВ '
А так как по построению ACi=A'C', АВ\ =А'В', то
Теорема доказана.
А'С’ _ АС А'В'	АВ '
63. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

(
{
)
J,
■у-

Теорема 7.2 (теорема Пифагора). В прямоугольном тре-
угольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказа тельство. Пусть АВС — данный прямоуголь-
ный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из
вершины прямого угла С (рис. 149).	'
п =

Отсюда
AB-AD=AC2. Аналогично cos В=-—=——. Отсюда АВ• BD =
i>C АН
=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD-\-DB=AB, получим:
АС2+ВС2=АВ (AD+DB)=АВ2.
Теорема доказана.

104
8 класс
<h
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном тре-
угольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою
очередь, следует, что cosa<Cl для любого острого угла а.
Задача (11). Найдите медиану равнобедренного тре-
угольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведен-
ную к основанию.
Решенн е. Пусть АВС — равнобедренный треуголь-
ник с основанием АВ и CD — его медиана, проведенная
к основанию (рис. 150). Как мы знаем, медиана равнобед-
q	ренного треугольника, проведен-
ная к основанию, является высо-
той. Поэтому треугольник ACD
прямоугольный с прямым углом D.
По теореме Пифагора

AD2 + CD2=AC\ (у-) +CD2 = b2.
Отсюда
сс“Л/о!-(т)!.
64.		ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Задача (17). Докажите, что если треугольник имеет
стороны а, Ь, с и а2 + Ь2 = с2, то у него угол, противолежа-
щий стороне с, прямой.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник, у
которого АВ=с, АС = а, ВС — Ь (рис. 151). Построим пря-
моугольный треугольник А\В\С\ с катетами AiCi—a
Рис. 151

§ 7. Теорема Пифагора
105
и B\Ci = b. По теореме Пифагора у него
гипотенуза А\В\ =-'Jar+b7=c. Таким об-
разом, треугольники АВС и А\В\С\
равны по третьему признаку. Из ра-
венства треугольников следует, что угол
треугольника АВС при вершине С
прямой.
Землемеры Древнего Египта для по-
строения прямого угла пользовались
следующим приемом. Бечевку узлами
делили на 12 равных частей и концы свя-
зывали. Затем бечевку растягивали на
земле так, что получался треугольник со
сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол
треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был
прямой (32 + 42 = 52).
В связи с указанным способом построения прямого угла
треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. иногда называют египет-
ским.

Пифагор — древнегреческий ученый (VI в. до н. э.)
65.		ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Пусть В А — перпендикуляр, опущенный из точки В на пря-
мую а, и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС
называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а
(рис. 152). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок
АС называется проекцией наклонной.
Из теоремы Пифагора следует,
что если к прямой из одной точки
проведены перпендикуляр и на-
клонные, то любая наклонная боль-
ше перпендикуляра, равные на-
клонные имеют равные проекции,
из двух наклонных больше та, у ко-
торой проекция больше.
Действительно (см. рис. 152),
по теореме Пифагора
АВ2+АС2=ВС2.
В

Рис. 152

106
8 класс
Отсюда видно, что ВС>АВ. При данном АВ чем больше АС,
тем больше ВС.
Задача (19). На стороне АВ треугольника АВС взята
точка X. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней
мере одной из сторон АС или ВС.
<Ь
С

а)
с

о;
Рис. 153
Р е ш е н и е. Проведем высоту CD треугольника. В любом случае отрезок DX меньше либо AD (рис. 153, а), либо BD (рис. 153,6). По свойству наклонных, проведонных из одной точки, отсюда следует, что отрезок СХ меньше по крайней мере одного из отрезков АС или ВС. Что и требовалось доказать.
66.		НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Если точки А и В различны, то расстоянием между ними ^Называется длина отрезка АВ. ^Зсли точки А и В совпадают, то " расстояние между ними принимается равным нулк^
Теорема 7.3 (неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Это значит, что каждое из этих расстояний меньше или равно суммы двух других.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно.
Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом

§ 7. Теорема Пифагора
107
случае АВ-\-ВС=АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других.
Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой (рис. 154). Докажем, что АВ<.АС-\-ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному AB^.AD-\-BD. И так как AD<AC и BD<BC, то ЛВ<ЛС+ВС. Теорема доказана.

а)	б)
Рис. 154
Рис. 155
Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной пря-
мой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда
следует, что£в любом треугольнике каждая сторона меньше
суммы двух других сторон. I
Задача (23). Докажите, что любая хорда окруж-
ности не больше диаметра и равна диаметру только тогда,
когда сама является диаметром.
Решение (рис. 155). По неравенству треугольника АВ ^ О А + ОВ=2Д, причем если центр О не лежит на отрезке АВ, то неравенство строгое. Равенство имеет место только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е. является диаметром.
Ф
67.		СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а (рис. 156). Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.

108
8 класс
В

Рис. 156
Синусом угла а (обозначается
sin а) называется отношение противо-
лежащего катета ВС к гипотенузе АВ:
вс
Тангенсом угла сс (обозначается
tg а) называется отношение противо-
лежащего катета ВС к прилежащему
катету АС:
,	ВС
^а=АС-
Синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят только от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора ВС=л/АВ2 — АС\
По определению
Подставим значение ВС:
sin сс=-
ВС
АВ
sin сс
_ л!ав‘—ас1
АВ

Так как cos а зависит только от величины угла, то и sin а зависит только от величины угла.
По определению
tg а =
вс
АС
Разделим числитель и знаменатель на АВ:
. _ „	ВС . АС	sin а
6	АВ ' АВ	cos а
Отсюда видно, что и tg сс зависит только от величины угла.
Из определения sin a, cos а и tg а получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin сс.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos сс.

S 7. Теорема Пифагора
109
Катет, противолежащий углу се, равен произведению второго катета на tg ос.
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы (рис. 157).
Рис. 157

а = с sind
Ь=С COSd
а=Ь tgd

Задача (47). В прямоугольном треугольнике даны
гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проек-
ции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение (рис. 158).
АС = АВ cos а —с cos се;
ВС=АВ sin а = с sin а;
BD=BC sin а = с sin2 а;
AD=AC cos а = с cos2 а;
С

CD=AC sin се = с sin а cos а.
Рис. 158
Для sin а, cos се и tg се составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin a, cos а и tg а или по значениям since, cos се, tg а найти соответствующий угол. В настоящее время для этой цели обычно применяют микрокалькуляторы.
68.		ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Одно тождество вы уже знаете:
tg а
sin а
cos а
Докажем следующие тождества:
sin2 а + cos2 а = 1,	1 + tg2 а=-Д—, 1+-4-
v	cos а	tg а
1
sin2 а '

по
8 класс
В

Возьмем любой прямоугольный
треугольник АВС с углом при вер-
шине А, равным а (рис. 159). По
теореме Пифагора
ВС2+АС2=АВ2.
Разделим обе части равенства
на АВ2. Получим:

Но •7%’=sin а, 4|-=соз сс. Таким образом, АВ	АВ
sin2 cc + cos2 сс = 1.
Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла а.
Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на cos2 а. Получим:
sin2 а | л 1
2~ *1 ^ 	 о
cos а	cos а
или 1 + tg2 а— Л .
соз а
Если обе части тождества sin2 a -f- cos2 а = 1 разделить на sin2 а, то получим третье тождество:
1

1
sin2 а *
Значение этих тождеств заключается в том, что они позво-
ляют, зная одну из величин sin a, cos а или tg а, найти две
другие.
Задача (63). Вычислите значения sin а и tg а, если
Ф
соза=-.
Решение. Так как sin2 a-f-cos2a = 1, то
sin а=-\Д — cos2 а= V I-(lj) =lf*
.	sin а  12_
“ cos a	5

§ 7. Теорема Пифагора
111
69.		ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
Теорема 7.4. Для любого острого угла а
sin (90е — a)=cos a, cos (90° — a)=sin a.
Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с острым углом а при вершине А (рис. 160). Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. По определению
. вс	АС
sina=- .cosa^-
sin (90°-a)=J| , cos(90o-a)=^ .
Из второго и третьего равенств получаем sin (90° — a)=cos a. Из первого и четвертого равенств получаем cos (90° — a)=sin a. Теорема доказана.
А	В

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45° (рис. 161). Второй его острый угол тоже равен 45°, поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника равны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет а л/2. Находим:
sin 45° =
аУ2
V2 2 ’
cos 45° = -^—
aV2
J_ = V2.
V2 2 ’
tg 45°==
^-=1.
a
r

112
8 класс
Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равносторонний треугольник АВС (рис. 162). Проведем в нем медиану AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треугольник ABD прямоугольный с острым углом при вершине А, равным 30°. Пусть а — сторона равностороннего треугольника.
Тогда ДО = -|-. По теореме Пифагора

AD=^JAB2—BD2 =
= л/“Чт)'=^#-
Значит,
tg 30
Так как sin а = cos (90° —а), то
sin 30°=-|-:о=-|-;
cos 30°—^~ :а=^;
о	sin 30°	 1	1 	л/З
cos 30®	"2**~	~3~*
sin 60° = cos 30°=^; cos 60°= sin 30°=
tg 60°
sin 60*
cos 60
,=л/з.
70.		ИЗМЕНЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ПРИ ВОЗРАСТАНИИ УГЛА
Теорема 7.5. При возрастании острого угла sin cut g а возрастают, a cos а убывает.
Доказательство. Пусть а и Р — острые углы, причем а<тр. Отложим углы а и Р от полупрямой АВ в одну полуплоскость (рис. 163). Проведем через точку В прямую, перпендикулярную АВ. Она пересекает стороны наших углов в точках С и D.
Так как а < р, то точка С лежит между точками В и D. Поэтому BC<lBD. А значит, по свойству наклонных, проведенных из одной точки к прямой, AC<.AD.

§ 7. Теорема Пифагора
113
Так как cosa=—, cos 6=—^.,
АС	AD
то cos a>cos р, т. е. при возраста-
нии угла косинус убывает.
Так как sin а =лД — cos* а, а
cos а убывает при возрастании уг-
ла, то sin а возрастает.
Так как tg а = ?ш а- и sin а воз-
соз а
растает, а cos а убывает при воз-
растании а, то tg а возрастает при
возрастании а. Теорема доказана.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
2.		Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.*
3.		Докажите теорему Пифагора.
4.		Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.
5.		Докажите, что cos a<Cl для острого угла а.
6.		Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
7.		Докажите неравенство треугольника.
8.		Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
9.		Дайте определения синуса и тангенса острого угла. Докажите, что они зависят только от градусной меры угла.
10.		Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?
11.		Докажите тождества: sin2 a + cos2 a = 1;
1-ftg2 a=-
tg2 a
1
sin2 a "

114
8 класс
12.		Докажите, что для любого острого угла а sin (90е — a)=cos a, cos (90° — a)=sin «.
13.		Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45е, 60е?
14.		Докажите, что sin а и tg а возрастают при возрастании
#
 острого угла а, а cos а убывает.
ЗАДАЧИ
3	4
1.		Постройте угол, косинус которого равен: 1) —; 2) —; 3) 0,5; 4) 0,8.
2.		У прямоугольного треугольника заданы катеты а и 6. Найдите гипотенузу, если: 1) а = 3, 6 = 4; 2) а=1, 6 = 1; 3) а — 5, 6 = 6.
3.		У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: 1) с = 5, а=3; 2) с= 13, а = 5; 3) с = 6, а = 5.
4.		Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону. (Два случая.)
5.		Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7?
6.		Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
7.		Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ?
8.		Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?
9.		Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м?
10.		Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.
11.		Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной 6, проведенную к основанию.
12.		Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370 км.
13.		В равностороннем треугольнике со стороной о найдите высоту.
14.		Даны отрезки а и 6. Как построить отрезок: 1) Уа2+62; 2) Уа2 —б\ а>6?
15*. Даны отрезки а и 6. Как построить отрезок х=-^6? 16. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены па высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.

§ 7. Теорема Пифагора
115
17.		Докажите, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и аг-{-Ь2 = с2, то у него угол, противолежащий стороне с, прямой.
18.		Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, противолежащий стороне 13?
19.		На стороне АВ треугольника АВС взята точка X. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС.
20.		Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
21.		Даны прямая и точка С на расстоянии h от этой прямой. Докажите, что из точки С можно провести две и только две наклонные длины I, если />Л (рис. 164).
С

22*. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках.
23.		Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
24.		Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если: 1) АВ=5 м, ВС=7 м, АС=12 м; 2) АВ=10,7, ВС=17,1, АС=6,4.
25.		Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон.
26.		Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?
27.		В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров.
28*. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекают

116
8 класс
ся. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
30.		Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В, С и D не меньше чем О А-f-ОВ+ОС 4~ OD.
31*. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 165, а); 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 165, б).

Рис. 165
32.		Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3?
33.		Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
34.		Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
35.		Вне окружности радиуса Я взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
36.		Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ.
37.		Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы G см и 12 см? Объясните ответ.
38*. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.
39.		Могут ли пересекаться окружности с радиусами i?i и Дг и расстоянием между центрами d, если R\-\-Ri<.dl

$ 7. Теорема Пифагора
117
40*. Даны три положительных числа а, 6, с, удовлетворяющие условиям а^6^с<а + 6. Докажите последовательно утверждения:
1)		0<

<а;
2)		существует прямоугольный треугольник BCD, у кото- рого гипотенуза ВС=а, а катет BD=C — (рис. 166);
3)		треугольник АВС, у которого ВС = а, АВ=с, а расстоя-
ние BD равно -с	—, имеет сторону АС=6 (рис. 166).
41.		Даны три положительных числа а, Ь, с. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами а, 6, с.
42.		Можно ли построить треугольник со сторонами:
1) а = 1 см, 6 = 2 см, с=3 см; 2) а=2 см, 6=3 см, с = 4 см; 3) о = 3 см, 6 = 7 см, с=11 см; 4) а = 4 см, 6 = 5 см, с = 9 см?
43*. Даны две окружности с радиусами Д|, Дг и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел Д|, Дг и d меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 167).

С

44.		У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
45.		В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, а один из острых углов а. Найдите второй острый угол и катеты.
46.		В прямоугольном треугольнике катет равен а, а противолежащий ему угол ос. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
47.		В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу^ и высоту, опущенную на гипотенузу.

118
8 класс
48.		1) Найдите sin 22°; sin 22°36'; sin 22e38'; sin 22°41'; cos 68°; cos 68°18'; cos 68°23'.
2) Найдите угол x, если sin д:=0,2850; sin * = 0,2844; cos x =0,2710.
49.		Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24°36'; 3) 70°32'; 4) 88°49'.
50.		Найдите величину острого угла х, если: 1) sin * = 0,0175;
2)		sin *=0,5015; 3) cos *=0,6814; 4) cos * = 0,0670.
51.		Найдите значение тангенса угла: 1) 10’; 2) 40°40';
3)		50°30'; 4) 70°15'.
52.		Найдите острый угол х, если: 1) tg *=0,3227; 2) tgx= = 0,7846; 3) tg *=6,152; 4) tg * = 9,254.
53.		Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону.
54.		Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19:28. Найдите его углы.
55.		Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями.
56.		Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
57.		Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
58.		Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от цонтра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
59.		Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом (рис. 168).
60.		Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно а. Найдите боковую сторону.
61.		Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:
1)		по двум катетам: а) а = 3, 6 = 4; б) а = 9, 6 = 40; в) о = 20, 6 = 21; г) а = 11, 6 = 60;
2)	 по гипотенузе и катету: а) с=13, а = 5; б) с = 25, а = 7;
в)	с = 17, а = 8; г) с = 85, а = 84;
3)		по гипотенузе и острому углу: а) с = 2, а = 20°; б) с = 4, а = 50°20'; в) с = 8, а = 70в36'; г) с=16, а = 76в21,;
4)		по катету и противолежащему углу: а) а = 3, а = 30°27/; б) о = 5, а = 40°48'; в) а = 7, а = 60°35'; г) о = 9, а = 68°.
62.		Упростите выражения: 1) 1—sin2 а;
2) (1 — cos а) (1 + cos а);	3) 1-j-sin2 a+ cos2 а;
4)		sin a sin a cos2 а; 5) sin4 а + cos4 а + 2 sin2a cos2 сс; 6) tg2 a —sin2 a tg2 а;	7) cos2 a + tg2 a cos2 а;
8) tg2 а (2 cos2 а + sin2 а -1);	9) 1-^.g + t-g-a .
1	cos' a

§ 7. Теорема Пифагора
119
63.		Вычислите значения sin а и tg а, если:
1) cosa=7^; 2) соза = -Ц‘»	3) cosa = 0,6.
lo	ll
64.		Найдите cos а и tg а, если:
3	40
1)		sincc=—;	2) sina=—;	3) sin a = 0,8.
0	41
65.		Постройте угол a, если известно, что: 1) cosa=—;
2)		sina=-|-; 3) sina = 0,5; 4) tga=-|-; 5) tga=0,7.
7	Э
66.		В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и углом 60е найдите катет, противолежащий этому углу.
67.		Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него.
68.		В треугольнике один из углов при основании равен 45°, а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону1 (рис. 169).

69.		У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника.
70.		Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
71.		Диагонали ромба равны а и a -^3. Найдите углы ромба.
72.		Какой из углов больше — а или р, если:
11	2	3
1) sin сс=—,	sinp=—;	2) sin a=—,	sinp=—;
3)		cosa=-f-,	cosp=-f-;	4) coscc = 0,75,	cosp = 0,74;
5) tg a = 2,1,	tg p = 2,5;	6)tga=-f-,	tgp=|-?
1 Иногда в произвольном треугольнике, необязательно равнобедренном, сторона, проведенная горизонтально, называется основанием, а две другие — боковыми сторонами, как в данной задаче.

120
8 класс
73.		У прямоугольного треугольника АВС угол А больше угла В. Какой из катетов больше — АС или ВС?
74.		У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше — А или В?
§ 8. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
71.		ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ
Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые хну — оси координат (рис. 170). Ось X (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом координат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую — отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.
Через точку А проведем прямую, параллельную оси ординат (рис. 171). Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ах. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если Ах
У
—о-
0
X

Рис. 170
Рис. 171

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
121
принадлежит отрицательной полу-
оси. Если точка А лежит на оси ор-
динат у, то полагаем х равным
нулю.
Ордината (у) точки А опреде-
ляется аналогично. Через точку А
проведем прямую, параллельную
оси абсцисс х (см. рис. 171). Она
пересечет ось ордийат у в некоторой
точке Ау. Ординатой точки А мы
будем называть число у, абсолют-
ная величина которого равна рас-
стоянию от точки О до точ-
ки Ау. Это число будет положи-
тельным, если Ау принадлежит
положительной полуоси и отрицательным, если Ау принад-
лежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси
абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с
буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом
месте абсцисса, на втором — ордината).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части —
четверти: I, II, III, IV (рис. 172). В пределах одной четверти
знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, ука-
занные на рисунке.
Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты
(у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсцис-
сы (л=0). У начала координат абс-
цисса и ордината равны нулю.
Плоскость, на которой введены
описанным выше способом коор-
динаты х и у, будем называть
плоскостью ху. Произвольную точ-
ку на этой плоскости с координа-
тами х и у будем иногда обозначать
просто (х\ у). Введенные на плос-
кости координаты ли у называются
декартовыми по имени Р. Декарта,
который впервые применил их в
своих исследованиях.
У,	1	
11	1	
(-,+)	(+, +)	
0	X	
III	IV	

Р. Декарт — французский ученый (1596— 1650)

122
8 класс

Задача (9). Даны точки А ( — 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положительны, а в другой — отрицательны. Так как у точек А и В абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ пересекает ось у.
Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекается с осью х.
72.		КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Пусть A(xi; i/i) и В(ж2; 1/2)— две произвольные точки и
С (ж; у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точ-
ки С.
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не парал-
лелен оси у, т. е. Х\ФХ2- Проведем через точки А, В, С прямые,
параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках
Ai (*i; 0), В\ (ж2; 0), Ci (ж; 0). По теореме Фалеса точка Ci будет
серединой отрезка А1В1.
Так как точка Ci — середина отрезка AiB|, то A|Ci=BiC|,
а значит, |ж — Ж|| = |ж — ж2|. Отсюда следует, что либо ж —Ж1 =
= Ж — Ж2, либо Ж — Ж) =—(ж — ж2).
Первое равенство невозможно, так
как Х| ф ж2. Поэтому верно второе.
А из него получается формула
ж— 2	.
Если xi=x2, т. е. отрезок АВ
параллелен оси у, то все три точ-
ки Ai, Bi, С| имеют одну и ту же
абсциссу. Значит, формула остает-
ся верной и в этом случае.

$ 8. Декартовы координаты на плоскости
123
Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула

	У1+У2
У~~2 *
Задача (15). Даны три вершины параллелограмма
ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты чет-
вертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является
серединой каждой из них. Поэтому она является серединой
отрезка АС, а значит, имеет координаты
х=

0 + 2 , 2
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, имеем:
^t£=2, £±£=1. Отсюда х=2, у= — 1.
73.		РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Пусть на плоскости ху даны две точки: А\ с координатами
Х\, у\ и Аз с координатами Хц уз- Выразим расстояние между
точками А\ и Аз через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда Х\Фхз и у\фуз- Прове-
дем через точки А\ и Аз прямые, параллельные осям коор-
динат, и обозначим через А точку
их пересечения (рис. 174). Расстоя-
ние между точками А и А\ рав-
но | у\ — уз I, а расстояние между
точками А и Аз равно |*i — х2|-
Применяя к прямоугольному тре-
угольнику АА\Аз теорему Пифа-
гора, получим:
d2=(x, — хз)2+(У1 — уз)2, (*)
где d — расстояние между точка-
ми А\ и Аз•

Рис. 174

124
8 класс
Хотя формула (*) для расстояния между точками выведена нами в предположении Х| фхг, у\ фу2, она остается верной и в других случаях. Действительно, если Xi = X2, у\фу2, то d равно |г/|—у21. Тот же результат дает и формула (*)• Аналогично рассматривается случай, когда Х\ФХ2, У\ = У2- При Xi = = Х2, i/i = 1/2 точки А\ и А 2 совпадают и формула (*) дает d = 0.

Задача (19). Найдите на оси х точку, равноудален-
ную от точек (1; 2) и (2; 3).
Решение. Пусть (х; 0) — искомая точка. Приравни-
вая расстояния»от нее до данных точек, получим:
(х -1)2 + (0 - 2)2 = (х - 2f + ((>■- З)2.
Отсюда находим х = 4. Значит, искомая точка есть (4; 0).
74.		УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.
Составим уравнение окружности с центром в точке Ао (а; Ь) и радиусом R (рис. 175). Возьмем произвольную точку А (х; у) на окружности. Расстояние от нее до центра Ао равно R. Квадрат расстояния от точки А до Ао равен (х — а)2-{-(у — bf. Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(x-af + (y-bf = R2.	(*)
Обратно: любая точка А, коор-
динаты которой удовлетворяют
уравнению (*), принадлежит ок-
ружности, так как расстояние от
нее до точки Ао равно R. Отсюда
следует, что уравнение (*) дейст-
вительно является уравнением ок-
ружности с центром Ао и радиу-
сом R.
Рис. 175

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
125
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
x2 + y2=R2.

Задача (30). Какая геометрическая фигура задана
уравнением
х2 + у2 + ах + Ьу + с = 0,	е>0?
Решение. Преобразуем данное уравнение следую-
щим образом:
х2 + ах-f——\-У +Ъу-
■с,
(*+т) +(у+т) ==(Л/-Т-+-Т-“С) •
Мы видим, что рассматриваемая фигура есть окружность
{ а ь\	„	-. I а7 , Ь2
с центром	; ——J и радиусом R=y—-I~——с.
75.		УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах х, у
имеет уравнение вида
ах + Ьу + с=О,	(*)
где о, Ь, с — некоторые числа.
Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Прове-
дем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой Л,
и отложим на ней от точки пере-
сечения С с прямой Л равные
отрезки СА\ и СА2 (рис. 176).
Пусть <Z|, Ь\ — координаты точ-
ки А | и 02, Ъ2 — координаты точ-
ки А 2. Как мы знаем, любая
точка А (х; у) прямой h равноуда-
лена от точек А\ и А2. Поэтому
координаты ее удовлетворяют урав-
нению
(х — а1)2 + (у — Ь1)2 =
= (х — а2)2 + (у — Ъ2)2.	(**)
Л

126
8 класс
Обратно: если координаты х и у какой-нибудь точк удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудален от точек А\ и А2, а значит, принадлежит прямой Л. Таки образом, уравнение (**) является уравнением прямой Л. Есл в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены урав нения в левую его часть, то оно примет вид:
2 (о2 — ai) х + 2 {b2-bi) у + {а] + Ь]-а1-Ы) = 0.
Обозначая 2(а2 —ai) = a, 2(Ь2 — b|)=b, Oi-fb? — а| — bl — c, получаем уравнение (*). Утверждение доказано.
Л. Задача (35). Составьте уравнение прямой, которая С“ ) проходит через точки А ( — 1; 1), В(1; 0).
' Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах-\-Ьу-\-с = 0. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению.
Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, получим:
— a + b+c = 0, а + с = 0.
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, например а и Ь, через третий: а= — с, Ь = — 2с. Подставляя эти значения о и Ъ в уравнение прямой, получим:
— сх — 2су + с = 0.
На с можно сократить. Тогда получим:
— х—2у + 1=0.
Это и есть уравнение нашей прямой.
76.		КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ
Пусть заданы уравнения двух прямых: ax + by+c=О, aix+6iy+ci = 0.
Найдем координаты их точки пересечения.

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
127
Так как точка пересечения (х; у) принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые. Рассмотрим пример.
Пусть уравнениями данных прямых будут:
Зх — у + 2 = 0,
5х — 2i/-j-l = 0.
Решая эту систему уравнений, находим х= — 3, у=—7.
Точка пересечения прямых ( — 3; —7).
Задача (43). Докажите, что прямые, задаваемые
уравнениями
у = й x + U, y = kx + l 2f
й>
при 1\ФЬ параллельны.
Решение. Допустим, прямые-не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке (xi; у\). Так как точка пересечения принадлежит каждой из прямых, то для нее
y\ = hxi-\-lu yi = kxi + l2.
Вычитая эти равенства почленно, получим 0 = (| — h. А это противоречит условию (ЬФЬ). Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
77.		РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение ах + Ьу + с = 0 имеет тот или иной частный вид.
1.		а = 0, Ь=5& 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
У=~
с
Ь
Г

128
8 класс
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату
^	^ ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 177, о).
В частности, если с=0, то прямая совпадает с осью х,
2.		Ь =0, о=7^0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у (рис. 177, б) н совпадает с ней, если ис=0.
У,	, У1			
				
0	X 0		X	
О)	б)
Рис. 177

в)
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, тан кап его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 177, в).
Задача (45). Составьте уравнение прямой, которая С“) параллельна оси х и проходит через точку (2; —3).
Решение. Так как прямая параллельна оси х, то она имеет уравнение вида
у + е = 0.
Так как точка (2; —3) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: —3 + с = 0. Отсюда с = 3. Следовательно, уравнение прямой
У + 3 = 0.
78.		УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ В УРАВНЕНИИ ПРЯМОЙ
Если в общем уравнении прямой ах-{-Ьу-{-с — 0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим:

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
129
О	с
Или, обозначая —--—к, ——=/, получим:
О	О
y = kx+l.
Выясним геометрический смысл коэффициента k в этом уравнении.
Возьмем две точки на прямой А (хi; у\), В (яГг; у2) (Х\<.Х2). Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
yi=kxi+l,	y2 = kx2 + l.
Вычитая эти равенства почленно, получим у2 — у \ = k(x2 — Л1). Отсюда
1
Х2 — х, ’
В случае, представленном на рисунке 178, о, У2~У' =tg а.
Хг—х,
В случае, представленном на рисунке 178, б, Уг~у' = — tg а.
Х2 — X,
Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х.
Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

5 Заказ 878
Рис. 178

130
8 класс
79.		ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
При построении графиков функций на уроках алгебры вы, наверное, заметили, что графиком линейной функции является прямая. Теперь мы докажем это.
Пусть у — ах + Ь — данная линейная функция. Докажем, что ее графиком является прямая.
Для данной функции если я = 0, то у — Ъ, если х = 1, то у — а-\-Ь. Поэтому графику функции принадлежат точки (0; b) и (1; а-\-Ь). Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Как мы знаем, оно имеет вид:
y — kx + l.
Так как указанные точки графика лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой.:
b = k-0 + l,
о	= /£ • 1
Отсюда находим l = b, h = a. Итак, наша прямая имеет уравнение
у — ах-\-Ь.
Значит, уравнению прямой удовлетворяют все точки графика. То есть графиком линейной функции является прямая.
80.		ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью. Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось з; (рис. 179). Тогда уравнением окружности будет х2 -\-у2—R2, а уравнением прямой x = d.
Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений
х2 + у2 = R2, x = d
имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим:
x—d, у= ±-\/Д2 —d2.

S 8. Декартовы координаты на плоскости
131

Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R>d (рис. 179,а).
Система имеет одно решение, если R = d (рис. 179,6). В этом случае прямая и окружность касаются.
Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R<.d (рис. 179, в).

Задача (50). Найдите точки пересечения окружности
х2-\-у2 = 1 с прямой у =
Решение. Так как точки пересечения лежат на
окружности и на прямой, то их координаты удовлетворяют
системе уравнений
я2 + у2 = 1> У = 2* + 1.
Решим эту систему. Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для д::
Ьх2 + 4х = 0.
Уравнение имеет два корня £i = 0 и Х2=—Это абсциссы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставляя в него Х\ и хг. Получаем
з
уi = l, у2=—=-. Итак, точки пересечения прямой и ок-
О
ружности (О; 1) и ^	; —|-) .

132
8 класс
81.		ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ ЛЮБОГО УГЛА ОТ 0° ДО 180°
До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°.
Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R (рис. 180). Отложим от положительной полуоси х в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где У> 0) угол а. Пусть хну — координаты точки А. Значения sin a, cos а и tga для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно:
Определим теперь значения sin a, cos а и tg a этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.)
При таком определении sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180°= —1, tg 180° —0.
Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: sin0° = 0, cos0° = l, tg0°=0.
Докажем, что для любого угла а, 0°<;а<180о, sin (180° —a) —sin a, cos (180° — а) = —cos а.	Для угла
ссф90° tg (180° — а)= —tg а.
Действительно, треугольники ОАВ и ОА\В\ равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников

sin a =-^-, tga=^-.
Ук

А(х; у)
х
Рис. 180
Рис. 181

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
133
следует, что АВ=А\В\, т. е. у = у\\ ОВ=ОВ\, следовательно, х = — Xi. Поэтому
Разделив почленно равенство sin (180° — a) = sin а на равенство cos (180° — a) =—cos a, получаем:
1.		Объясните, как определяются координаты точки.
2.		Какие знаки у координат точки, если она принадлежит
первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
3.		Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс?
Чему равны координаты начала координат?
4.		Выведите формулы для координат середины отрезка.
5.		Выведите формулу для расстояния между точками.
6.		Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
7.		Выведите уравнение окружности.
8.		Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет
уравнение вида ах-\-Ьу-\-с=0.
9.		Как найти координаты точки пересечения двух прямых,
если заданы уравнения этих прямых?
10.		Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффици-
ент а=0 (6=0; с=0)?
11.		Что такое угловой коэффициент прямой и какой его геомет-
рический смысл?
12.		Докажите, что графиком линейной функции является пря-
мая.
13.		При каком условии прямая и окружность не пересекают-
ся, пересекаются в двух точках, касаются?
14.		Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для любо-
го угла от 0° до 180°.
15.		Докажите, что для любого угла а, 0°<<а<180°,
sin (180° — a)=sina, - .	cos (180° — а)=—cos а,
sin (180° —a) = -|L=-^-=sin a,
H H
cos (180° — a)=-||-=-^p= —cos a.
tg (180° — a) = — tg a.
Что и требовалось доказать.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
tg (180е—a)= — tg a.

134
8 класс

ЗАДАЧИ
1.		Проведите оси координат, выберите единицу длины на осях, постройте точки с координатами: (1; 2), (— 2; 1), (-1; -3), (2; -1).
2.		Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите координаты этих точек.
3.		На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной из них ордината у = 2. Чему равна ордината другой точки?
4.		На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса другой точки?
5.		Из точки А (2; 3) опущен перпендикуляр на ось х. Найдите координаты основания перпендикуляра.
6.		Через точку А (2; 3) проведена прямая, параллельная оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у.
7.		Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых абсцисса дг = 3.
8.		Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых 1*1=3.
9.		Даны точки А ( —3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у, по по пересекает ось *.
10.		Какую из полуосей оси у (положительную или отрицательную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче?
11.		Найдите расстояние от точки ( — 3; 4) до: 1) оси *; 2) оси у.
12.		Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
1)		А (1; -2), В (5; 6); 2) А (-3; 4), В (1; 2); 3) А (5; 7), В (— 3; -5).
13.		Точка С — середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если: 1) А (0; 1), С ( — 1; 2);
2)		А (-1; 3), С (1; -1); 3) А (0; 0), С (-2; 2).
14.		Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А ( —1; —2), В (2; — 5), С (1; — 2), D ( — 2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.
15.		Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
16.		Найдите середины сторон треугольника с вершинами в
точках О (0; 0), А (0; 2), В ( — 4; 0).	>
17.		Даны три точки А (4; —2), В (1; 2), С ( — 2; 6). Найдите расстояния между этими точками, взятыми попарно.
18.		Докажите, что точки А, В, С в задаче.17 лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими?

§ 8. Декартовы координаты на плоскости
135
19.		Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и
(2; 3).
20.		Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3; 6).
21? Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (4; 1), В (0; 4), С (— 3; 0), D (1; — 3) является квадратом.		
22.		Докажите, что четыре точки (1; 0), ( — 1; 0), (0; 1), (0Г — 1) являются вершинами квадрата.
23.		Какие из точек (1; 2), (3; 4), (—4; 3), (0; 5), (5; — 1) лежат на окружности, заданной уравнением х2 -\-у2 = 25?
24.		Найдите на окружности, заданной уравнением х2-\-у2 — = 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой —12.
25.		Даны точки А (2; 0) и В ( — 2; 6). Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ.
26.		Даны точки А { — 1; —1) и С (—4; 3). Составьте уравнение окружности с центром в точке С, проходящей через точку А.
27.		Найдите центр окружности на оси х, если известно, что окружность проходит через точку (1; 4) и радиус окружности равен 5.
28*. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х.
29. Составьте уравнение окружности с центром (— 3; 4), проходящей через начало координат.
30*. Какая геометрическая фигура задана уравнением
х2 + у2 + ах + Ьу + с = 0,		е>0?
31.		Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х2 + у2 = 1, х2-\-у2 — 2х + у — 2 = 0.
32.		Найдите координаты точек пересечения окружности x2-f у2 — 8х — 8i/ + 7=0 с осью х.
33.		Докажите, что окружность х2-\-у2-\-2ах-\-1 = Ъ, |а|>1, не пересекается с осью у.
34.		Докажите, что окружность х2 -f у2 + 2ал: = 0 касается оси у, афО.
35.		Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А ( —1; 1), В (1; 0).
36.		Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3), В (3; 2); 2) А (4; -1), В (-6; 2); 3) А (5; -3), В (-1; -2).
37.		Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ОАВ в задаче 16.
38.		Чему равны координаты а и Ъ в уравнении прямой ах + + Ьу = 1, если известно, что она проходит через точки (1; 2) и (2; 1)?
39.		Найдите точки пересечения с осями координат прямой,

136
8 клагг
заданной уравнением: 1) х + 2у + 3 = 0; 2) Зх + 4г/ = 1 3) Зх — 2г/ + 6 = 0; 4) Ах — 2у —10 = 0.
40.		Найдите точку пересечения прямых, заданных уравн ниями:
1)		х + 2г/ + 3 = 0, 4х+5у + 6 = 0;
2)		Зх— у — 2=0, 2x + z/— 8 = 0;
3)		4x + 5z/ + 8 = 0, Ах — 2у — 6 = 0.
41*. Докажите, что три прямые х + 2г/ = 3, 2х — у=А и Зх + у = 4 пересекаются в одной точке.
42*. Найдите координаты точки пересечения медиан треугол ■ника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).
43.		Докажите, что прямые, задаваемые уравнениями y=kx -Mi. y = kx-\-l2, при 1\ф12 параллельны.
44.		Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пар
параллельных прямых: 1) х+у = 1;	2) У—х— 1
3) х —у = 2; 4) у = А; 5) у = 3; 6) 2х+2у + 3 = 0.
45.		Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси и проходит через точку (2; —3).
46.		Составьте уравнение прямой, параллельной оси х и прох дящей через точку (2; 3).
47.		Составьте уравнение прямой, проходящей через начал координат и точку (2; 3).
48.		Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 3
49.		Найдите острые углы, которые образует заданная пр мая с осью х: 1) 2i/ = 2x+3; 2) хд/З — у=2; 3) х+у-\/3 + 1 = 0.
50.		Найдите точки пересечения окружности х2 + г/2 = 1 с пр мой: 1) у = 2х + 1; 2) у = х+1; 3) у = Зх+1; 4) y = kx +1-
51*. При каких значениях с прямая х+у+с=0и окружност х2 + у2 = 1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) каса ются?
52.		Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 120°; 2) 135°
3)		150°
53.		Найдите: 1) sin 160°; 2) cos 140°; 3) tg 130°.
54.		Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40°; 2) 14°36' 3) 7Г2Г; 4) 30°16'; 5) 130°; 6) 150°30'; 7) 150°33' 8) 17в°28'.
55.		Найдите углы, для которых: 1) sin а = 0,2; 2) cos а=—0,7 tg сс= — в,4.
56.		Найдите sin а и tg а, если: 1) cos а=4~; 2) cos а= —0,5
о
3)		cosa=^; 4) cosa=—

S 9. Движение
137
57.		Найдите cos а и tga, если: 1) sina = 0,6, 0°<а<90°;
2) sina=-|-, 90°<Са<180°; 3) sina=4r* 0°<а<180°.
®	у2
5
58.		Известно, что tg а = ——. Найдите sin а и cos ос.
О
59.		Постройте угол а, если известно, что sin а =—.
5
о
60.		Постройте угол а, если известно, что cos а = ——.
О
61*. Докажите, что если cos a=cos (5, то а = р.
62*. Докажите, что если sin a=sin р, то либо а = р, либо а = = 180° — р.
§ 9. ДВИЖЕНИЕ
82.		ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь
образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигу-
ралголучена преобразованием из данной (рис. 182).
I		Преобразование одной фигуры в другую называется движе-
ниЪж?ъслн оно сохраняет расстояние между точками, т. е. пере-
водит любые две точки X иУ одной фигуры в точки X', У' дру-
ой фигуры так, что ХУ=Х'У' (рис. 183).
Замечание. Понятие движения в геометрии связано с
обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о пе-
ремещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в
геометрии для нас будут иметь значение только начальное и ко-
нечное положения фигуры.

Рис. 182
Рис. 183 (

138
8 класс
F
<»X
f'
X'
Рис. 184

Пусть фигура F переводится движением в фигуру F', а фигура F' переводится движением в фигуру F" (рис. 184). Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F', а при втором движении точка X' фигуры F' переходит в точку X" фигуры F". Тогда преобразование фигуры F в фигуру F", при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X" фигуры F", сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.
Это свойство движения выражают словами: две движения, выполненные последовательно, дают сноса движение.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F' переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F' (см. рис. 182). Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X' фигуры F'. /Преобразование фигуры F'- в фигуру F, при котором точка X' переходит в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому переводит различные точки в различные.
Очетщпо,'преобразование, обратное движению, также является движением.
83.		СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ
Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки Ai, В\, Ci, то эти точки также лежат на прямой;

§ 9. Движение
139
если точка В лежит между точками А и С, то точка В\ лежит между точками А\ и Си
Доказательство. Пусть точка В прямой АС лежит между точками А и С. Докажем, что точки А\, В\, С\ лежат на одной прямой.
Если точки А1, Bi, Ci не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому AiCi <.А\В\ +В1С1. По определению движения отсюда следует, что АС <С АВ -f- ВС. Однако по свойству измерения отрезков АС—АВ-\-ВС.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка В\ лежит на прямой А\С\. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка В\ лежит между А\ и С|. Допустим, что точка А\ лежит между точками В\ и С\. Тогда А\В\ + -\-A\C\ =В\Си и, следовательно, АВ-\-АС=ВС. Но это противоречит равенству АВ-\-ВС=АС. Таким образом, точка А\ не может лежать между точками Bi и С\.
Аналогично доказывается, что точка С\ не может лежать между точками А\ и В\.
Так как из трех точек Аи Ви С\ одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только Вх. Теорема доказана полностью.
|	' Из теоремы 9.1 следует, что \nj)u движении прямые перехо-
1 дят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в от- \ резки (рис. 185).
Докажем, что при движении сохраняются углы между полу- ■ . прямыми.
В

Рис. 185

140
8 класс

А
С
Рис. 186
Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой (рис. 186). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые А\В\ и А\С\. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А\В\С\ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов ВАС и В[А\С\, что и требовалось доказать.
84.		СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ\ равный ОХ. Точка X' называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относптель-

X
F

Рис. 187
Рис. 188

§ 9. Движение
141
но данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно точки О (рис. 188).
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 189).

Рис. 190
Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F (рис. 190). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки X' и У'. Рассмотрим треугольники XOY и X'OY’. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ=ОХ', OY=OY' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X’Y'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана.
85.		СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
Пусть g — фиксированная прямая (рис. 191). Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка X’ называется симметрия-

142
8 класс

ной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).

Рис. 193
Рис. 194

§ 9. Движение
143
Рис. 195
Теорема 9.3. Преобразова-
ние симметрии относительно пря-
мой является движением.
Доказательство. Примем
данную прямую за ось у декарто-
вой системы координат (рис. 195).
Пусть произвольная точка А (х; у)
фигуры F переходит в точку
А' (х'; у') фигуры F'. Из опреде-
ления симметрии относительно пря-
мой следует, что у точек А и А'
равные ординаты, а абсциссы от-
личаются только знаком: х'= —х.
Возьмем две произвольные точки А (яг, у\) и В (хг; уг). Они перейдут в точки А’ ( — Х\; у\) и В' ( — *2*, Уг).
Имеем:
А			А'	
В			В'	
				
0	X	
АВ2 = (*2 — XI )2+(у 2 — УI )2,
А'В,2=( — *2 + Xi)2-Ky2 — J/i)2-
Отсюда видно, что АВ=А'В’. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
86.		ПОВОРОТ
Поворотом плоскости около данной точки называется такое
движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки,
поворачивается на один и тот же
угол в одном и том же направ-
лении (рис. 196). Это значит, что
если при повороте около точки О
точка X переходит в точку X', то
лучи ОХ и ОХ' образуют один
и тот же угол, какова бы ни была
точка X. Этот угол называется
углом поворота. Преобразование
фигур при повороте плоскости так-
же называется поворотом.

144
8 класс
О	о

Задача (25). 1) Постройте точку Ль в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок А В при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
Решение. 1) Проведем луч О А и построим луч ОМ так, что ААОМ = 60° (рис. 197, а). Отложим на луче ОМ отрезок ОА\, равный отрезку О А. Точка А\ является искомой.
2) Построим точки А\ и В\, в которые переходят при заданном повороте точки А и В, являющиеся концами отрезка АВ (рис. 197, б). Отрезок А\В\ является искомым, поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок.
87.		ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ЕГО СВОЙСТВА
Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

$ 9. Движение
145
Введем на плоскости декартовы координаты ж, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (ж+о; у+Ь), где а и & одни и те же для всех точек (ж; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами
х'=х+а, у' = у + Ь.
Эти формулы выражают координаты ж', у' точки, в которую переходит точка (ж; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос есть движение.
Действительно, две произвольные точки А (ж«; у\) и В (ж2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А' (Ж| +а; У\ + Ь), В' (ж2+а; у2 + Ъ). Поэтому
АВ2 = (ж2 — Ж|)2 + (У 2 — У\)2,
А'В'2 = (ж2 — ж | )2 -f (у2 — у! )2.
Отсюда АВ=А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.
Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

146
8 класс
В

в'
Рис. 200
Рис. 201
Действительно, пусть точки A (jci; i/i) и В (лг2; У 2) переходят в точки A' (xi + a; yt + b)nB' {х2 + а; y2 + b)( рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты
Те же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны АА' и ВВ' параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА'В'В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А'В'. Отсюда следует, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ’ совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 201). Значит, все точки А, В, А\ В' лежат на одной прямой. Далее,
Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние ~^а2-\- Ь2, а прямая АВ переходит в себя.
xi + x,4-a	Ui4-U2 + &
X —	 	

АА/=У(*1+а — xif+(yi + b — yif=-yja2 + b2,
ВВ' = У(х2+а — Х2)2+{у 2 + b — у2у—т/а2 + Ъ2.

§ 9. Движение
147
88.		СУЩЕСТВОВАНИЕ
И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Теорема 9.4. Каковы бы ни
были две точки А и А', существует
один и только один параллельный
перенос, при котором точка А пе-
реходит в точку А'.
Доказательство. Начнем
с доказательства существования па-
раллельного переноса, переводящего точку А в А'. Введем
декартовы координаты на плоскости. Пусть at, аг — координаты
точки А и а'и а£ — координаты точки А'. Параллельный пере-
нос, заданный формулами
х’ = х + а\ — ci, у’ — уЛ-а'2—а2,
переводит точку А в точку А’. Действительно, при х = а\ и у —
= й2 получаем х' = а'и у' = а’2.
Докажем единственность параллельного переноса, переводя-
щего точку А в точку А'. Пусть X — произвольная точка фигу-
ры и X' — точка, в которую она переходит при параллельном
переносе (рис. 202). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ' имеют
общую середину О. Задание точки X однозначно определяет
точку О — середину отрезка А'Х. А точки А и О однозначно
определяют точку X', так как точка О является серединой от-
резка АХ'. Однозначность в определении точки X' и означает
единственность параллельного переноса.
Теорема доказана полностью.
Задача (30). При параллельном переносе точка (1; 1)
переходит в точку (— 1; 0). В какую точку переходит нача-
ло координат?
Решение. Любой параллельный перенос задается
формулами

X	х'

х'=х+а, у' = у + Ь.
Так как точка (1; 1) переходит в точку (— 1; 0), то —1 = 1а, 0 = 14-6. Отсюда о = — 2, 6=—1. Таким

148
8 класс
образом, наш параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в ( — 1; 0), задается формулами х' — х — 2, у' = у — 1. Подставляя в эти формулы координаты начала (*=0, у = 0), получим х' = — 2, у' = — 1. Итак, начало координат переходит в точку ( — 2; —1).
89.		СОНЛПРЛВЛЕННОСТЬ ПОЛУПРЯМЫХ
Две полупрямые называются одинаково направленными, или сонаправленными,\если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.
Если полупрямые а и Ь одинаково поправлены и полупрямые Ъ и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены (рис. 203).
Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами
х'=х + т, у'=у + п,	(*)
переводит полупрямую а в полупрямую Ь, а параллельный перенос, задаваемый формулами
х"=х'-\-тх, y" = y' + ni,	(**)
переводит полупрямую Ь в полупрямую с.
Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами х"=х + т + т.\, у” = у + п + п\.	(***)
Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую а в полупрямую с. Докажем это.

Рве. 203
Рис. 204

§ 9. Движение
149
Пусть (х; у) — произвольная точка полупрямой а. Согласно
формулам (*) точка (x-f т; у + п) принадлежит полупрямой Ъ.
Так как точка (х+то; у + п) принадлежит полупрямой Ь, то со-
гласно формулам (**) точка (х+т+тi; у + п + п) принадле-
жит полупрямой с. Таким образом, параллельный перенос, зада-
ваемый формулами (***), переводит полупрямую а в полупря-
мую с. А это значит, что полупрямые о и с одинаково направле-
ны, что и требовалось доказать.
|Две полупрямые называются противоположно направлен-
ншш, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой,
дополнительной к другой (рис. 204).
Задача (32). Прямые АВ и CD параллельны. Точки
А и D лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что
лучи ВА и CD одинаково направлены.
Ф

Решение. Подвергнем луч CD параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 205). При этом прямая CD совместится с прямой ВА. Точка D, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково направлены.
90.		РАВЕНСТВО ФИГУР
\ Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.
Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F=F' означает, что фигура F равна фигуре F'. В записи равенства треугольников: ААВС =

150
8 класс

= AA\BiCi — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.
Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Докажем оба эти утверждения.
Пусть треугольник АВС совмещается движением с треугольником А\В\С\, причем вершина А переходит в вершину А\, В — в В\ и С — в Ci. Так как при движении сохраняются расстояния и углы, то для наших треугольников АВ = А\В\, BC=BtC\, AC^AiCu А А — АА\, ZB=ZBit ZC=ZCl.
Пусть теперь у треугольников АВС и А\В\С\ АВ = А\В\, ВС = В\С\, AC=AiC„ ZA=ZAU ZB=ZBU ZC=ZC,. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину А и В — в Bi, С — в Ci. Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии относительно прямой о, перпендикулярной к отрезку АА\ и проходящей через его середину (рис. 206). Получим треугольник А\В2С2. Если точки Bi и В2 различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой Ь, которая проходит через точку А ■ и

§ 9. Движение
151
перпендикулярна к прямой В1В2. Получим треугольник А\В\Сг.
Если точки Ci и С3 лежат по одну сторону от прямой А\В\, то они совпадают. Действительно, так как углы В\А\С\ и В1А1С3 равны, то лучи А\С\ и .А1С3 совпадают, а так как отрезки А\СХ и А\ Сз равны, то совпадают точки Ci и С3. Таким образом, треугольник АВС движением переведен в треугольник А\В\С\.
Если точки Ci и Сз лежат по разные стороны от прямой А\В\, то для доказательства надо еще применить симметрию относительно прямой А\В\.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
; 1. Какое преобразование фигуры называется движением?
2.		Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении ——переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется
, порядок их взаимного расположения.
!^3. Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при ^ движении?
к. Докажите, что при движении сохраняются углы.
*>ГОбъясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки.
6.		Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?
7.		Какая фигура называется центрально-симметричной?
8.		Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры.
9.		Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.
10.		Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
11.		Какое преобразование называется симметрией относи
тельно данной прямой?
12.		Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
13.		Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример.
14.		Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
15.		Какое движение называется поворотом?
16.		Что такое параллельный перенос?
17.		Какие вы знаете свойства параллельного переноса?
18.		Докажите существование и единственность параллель-

152
8 класс
ного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.
19.		Какие полупрямые называются одинаково направленными?
20.		Докажите, что если полупрямые о и Ь одинаково направлены и полупрямые Ъ и с одинаково направлены, то полупрямые с и с тоже одинаково направлены.
21.		Какие полупрямые называются противоположно направленными?
22.		Какие фигуры называются равными?
ЗАДАЧИ
1.		Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм.
2.		В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ.
3.		Даны точки А и В. Построите точку В', симметричную точке В относительно точки А.
4.		Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем.
5.		Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии.
6.		При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X'. Построите точку, в которую при этой симметрии переходит точка У.
7.		Может ли у треугольника быть центр симметрии?
8.		Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
9.		Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.
10*. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис. 207).
11.		Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки: 1) отрезку; 2) углу; 3) треугольнику?
12.		Даны точки А, В, С. Постройте точку С', симметричную точке С относительно прямой Л В.
13.		Решите задачу 12, пользуясь только циркулем.
14.		Чему равны координаты точки, симметричной точке ( — 3; 4) относительно 1) оси х; 2) оси у; 3) начала координат?
15.		При симметрии относительно некоторой прямой точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У.

§ 9. Движение
153

Рис. 207
Рис. 208
16.		Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.
17.		Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.
18.		Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.
19.		Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника?
20.		Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 208).
21.		Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.
22.		Докажите, что диагонали квадрата и прямые, проходящие через точку их пересечения параллельно его сторонам, являются осями симметрии квадрата (рис. 209).
23.		Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Рис. 209
Рис. 210

154
8 класс
24*. Даны три попарно пересекающиеся прямые а, Ь, с. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой Ь, с серединой на прямой Ъ и концами на прямых а и с (рис. 210)? Всегда ли задача имеет решение?
25.		1) Постройте точку А\, в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
26.		Постройте фигуру, в которую переходит треугольник
> АВС при повороте его около вершины С на угол 60°.
27.		Даны точки А, В, С. Постройте точку С', в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В.
28.		Параллельный перенос задается формулами х' = х-\-1, у' = у— 1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0;0), (1;0), (0;2)?
29.		Найдите величины а и Ь в формулах параллельного переноса х’ = х-\-а, у' = у-\-Ъ, если известно, что: 1) точка (1 ;2) переходит в точку (3;4); 2) точка (2; — 3) — в точку (— 1;5); 3) точка ( — 1; — 3) — в точку (0; —2).
30.		При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку (— 1 ;0). В какую точку переходит начало координат?
31.		Существует ли параллельный перенос, при котором:
1)		точка (1;2) переходит в точку (3;4), а точка (0;1) — в точку (—1;0); 2) точка (2; — 1) переходит в точку (1;0), а точка ( —1;3) — в точку (0;4)?
32.		Прямые АВ и CD параллельны. Точки А и D лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и CD одинаково направлены.
33.		Докажите, что в задаче 32 лучи ВА и CD противоположно направлены, если точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС.
34.		Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей АВ, ВА, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назовите пары одинаково направленных и противоположно направленных лучей.
35.		Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.
36*. У параллелограммов ABCD и A\B\C\D\ АВ = А\В\, AD = =A\D\ и АА— АА\. Докажите, что параллелограммы рнипы, т. о. совмещаются движением.
37*. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
38.		Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны, т. е. совмещаются движением.

§10. Векторы
155
§ 10. ВЕКТОРЫ
91.		АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами о, Ъ, с, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или .черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так:
а, а или АВ, АВ.

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены. На рисунке 212 векторы а и b одинаково направлены, а векторы а и с противоположно направлены.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина
вектора а обозначается |а|.
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

156
8 класс
92.		РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.
Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.
Действительно, пусть АВ и CD — одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при зтом точка D совмещается с точкой В, т. е. параллельный перенос переводит вектор CD в вектор А В. Значит, векторы АВ и CD равны, что и требовалось доказать.

Задача (2). Четырехугольник ABCD — параллело-
грамм. Докажите равенство векторов АВ и DC.
Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному
переносу, при котором точка А переходит в точку D
(рис. 214). При этом переносе точка А смещается по пря-
мой AD, а значит, точка В смещается по параллельной
прямой ВС. Прямая АВ переходит в параллельную пря-
мую, а значит, в прямую DC. Следовательно, точка В пе-

§ 10. Векторы
157
реходит в точку С. Таким образом, наш параллельный перенос переводит вектор АВ в вектор DC, а значит, эти векторы равны.
Пусть а — вектор и А — произвольная точка. Тогда от точки А можно отложить один и только один вектор с', равный вектору а.
Действительно, существует единственный параллельный перенос, при котором начало вектора а переходит в точку А. Вектор, в который переходит при этом вектор а, и есть вектор о'.
Для практического откладывания от данной точки (D) вектора равного данному [АВ) можно воспользоваться задачей 2.
93.		КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Пусть вектор а имеет началом точку А\ (jci; у\), а концом точку Аг (х2\ у2). Координатами вектора а будем называть числа а\=Х2 — Х\, а2 = у2 — у\. Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае
a(ai;a2) или просто (а,; а2). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами а\, а2 равна -^а\ + о2.
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Действительно, пусть А\ (xi; у{) и Аъ[х2; у2) — начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а' получается
из вектора а параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно A\[xi + c; yi + d), А'г (лг2 + с; j/2+d). Отсюда видно, что оба вектора о и о' имеют одни и те же координаты: лг2—Xi, уг—уи
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответст- ующие координаты векторов А\А^ и А\А’2 равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть х\ и у\ — координаты точки А\, а Хг, у2 — коорди-

158
8 класс
наты точки Аг. По условию теоремы х2 — Х\=х2— х{, у2 — у\ = = Уг — У\- Отсюда х2=х2+х{ — хи у2=У2 + У\—У\- Параллельный перенос, заданный формулами
х' = х+х{—xi, у' = у + у'\ — у\,
переводит точку А\ в точку А[, а точку А2 в точку А2, т. е. векторы А\А2 и А{А2 равны, что и требовалось доказать.
JK Задача (7). Даны три точки: А (1; 1), В ( —1; 0), С ° ) С (0; 1). Найдите такую точку D (х\ у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
Решение. Вектор АВ имеет координаты —2, — 1. Вектор CD имеет координаты х — 0, у — 1. Так как АВ = = CD, то ;с — 0— — 2, у —1=— 1. Отсюда находим координаты точки D: х— —2, у = 0.
94.		СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Суммой векторов а и b с координатами а|, а> и Ь\, Ь2 называется вектор с с координатами ai-f bi, а2-\-Ъ2, т. е.
а(ау, a2)+b(b г, b2) = c (ai + by, a2-rb2).
Для любых векторов а (ар, а2), Ь (Ъ\\ b2), c(ci', с2)
а-\-Ь = Ъ + а, о+(Ь+с)=(а + 6)-(-с.
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.

С(ху,

Рис. 215
Рис. 216

§10. Векторы
159
Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство
АВ + ВС = АС.
Доказательство. Пусть A (jti; у i), В (х?‘, уг)> С (дгз; Уз) — данные точки (рис. 215). Вектор АВ имеет координаты Хг — Х\, у2 — у\, вектор ВС имеет координаты Хз — Х2, уз — Уз. Следовательно, вектор АВ-\-ВС имеет координаты х3 — Хиуз — у\. А это есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ + ВС и АС равны. Теорема доказана.
Теорема 10.1 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов а и Ь. Надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ъ. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', будет суммой векторов о и & (рис. 216). Такой способ получения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах ( оправило параллелограмма», рис. 217). Действительно, АВ+ + ВС =АС, a BC=AD. Значит, AB+AD—AC.
В

Разностью векторов о(а|;аг) и Ь(£м;&2) называется такой вектор с (С|; Сг), который в сумме с вектором Ъ дает вектор а: Ь-\-с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а — Ъ:
Cl =<Z| — Ьl5 C2 = fl2—&2.

160
8 класс

	Задача (11). Даны векторы с общим началом
АВ и АС (рис. 218). Докажите, что АС—АВ — ВС.
Решение. Имеем АВ-\-ВС =АС. А это значит, чт
АС —АВ = ВС.

Отсюда получается следующее пр
вило для построения разности дву.
векторов. Чтобы построить вектор
равный разности векторов а и Ь, над
отложить равные им векторы а
и Ь' от одной точки. Тогда вектор
начало которого совпадает с концол
вектора £>', а конец — с концом векто
ра а', будет разностью векторов
и Ь (рис. 219).
95.		СЛОЖЕНИЕ СИЛ
Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором направление которого совпадает с направлением действп. силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы Как показывает опыт, при таком способе изображения си равнодействующая двух или нескольких сил, приложенны к телу в одной точке, изображается суммой соответствующи им векторов. На рисунке 220, а к телу в точке А приложен две силы, изображенные векторами а и Ь. Равнодействующа этих сил изображается вектором
с=а-^-Ь.

Рис. 220

§10. Векторы
161
Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Так, на рисунке 220, а сила с разложена
в сумму сил а и Ъ — составляющие силы с.
Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси (рис. 220, б).
Задача (16). С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал ' вниз (рис. 221)?
F

Решение. Пусть О — центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F=P sin а.
96.		УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора (щ; а?) на число К называется вектор (Atfi; Яд2), т. е. («i; а2) Х—(Хах; Ха2).
По определению (oi; а2) К=Х (ai; а2).
Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора а и чисел X, р
(А+р) а = Ха-\- pa.
6 Заказ 878

162
8 класс

Для любых двух векторов а и Ъ и числа У.
1(а + Ь) = Ул + ХЬ.
Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора Ум равна | У,11 а |. Направление вектора Ул при аф 0 совпадает с направлением вектора а, если У.>0, и противоположно направлению вектора а, если ?.< 0..
Доказательство. Построим векторы О А и ОВ, равные а и Ул соответственно (О — начало координат). Пусть Ci и 02 — координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа а\ и а2, а координатами точки В будут Улп Ум2 (рис. 222). Уравнение прямой ОА имеет вид:
а*+Ру=0.
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки А (ai;a2), то ему удовлетворяют и координаты точки В(Ул\ш, Улг). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой О А. Координаты С\ и с2 любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты Ci и а2 точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.
Поэтому если ?.> 0, то точка В лежит на полупрямой О А, а следовательно, векторы а и Ул одинаково направлены. Если ?.<0, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ум противоположно направлены.

§10. Векторы
163
Абсолютная величина вектора Ха равна:
|?,а| = V(Ха|)2 + (Ха2)г = |?.| -Ja'i + a22 = \X\ ]а|.
Теорема доказана.
. Задача (17). Даны точки А(х\;у\) и В(х2’,у2).
< Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Решение. Вектор АВ имеет координаты х2 — *i и 1/2 — Уь Вектор ВА имеет координаты :ti—х2 и у\ — у2. Мы видим, что АВ — { — 1)ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены.
97.		РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ
Два ненулевых вектора называются коллинеарнъши, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 223). Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.
Пусть а и Ь — отличные от нуля коллинеарные векторы. Докажем, что существует число X такое, что
Ь = Ха.
Допустим, векторы а и Ь одинаково направлены. Векторы
b и

одинаково направлены и имеют одну и ту
величину |Ь|. Значит, они равны:
же абсолютную
Ъ
= Х =
|а|
1Ы
\а\'

Рис. 223

164
8 класс

Рис. 224
В случае противоположно направленных векторов а и Ь аналогично заключаем, что
Ь = —Ш-а = Ка, К=—
lal	1 а|
что и требовалось доказать.
Пусть а и b — отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор с можно представить в виде
с —Ха + пЬ.
Пусть А и В — начало и конец вектора с (рис. 224). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам а и Ь. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем:
АВ=АС + СВ.
Так как векторы а и АС коллинеарны, то АС=Ха. Так как векторы СВ и Ь коллинеарны, то СВ = pb. Таким образом,
с = Яа + рЬ,
что и требовалось доказать.
98.		СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением векторов a (ai; аг) и b (Ьц Ь2) называется число а
Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение а «а обозначается а2 и называется скалярным квадратом. Очевидно, о2=|а|2.

§ 10. Векторы
165
Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов а(а\; а2), b (6i; 62), с (С|; с2)
Действительно, левая часть равенства есть (ai + bi)ci + +(«2 + b2)c2, а правая aiCi+а2с2 +Ь|С| + Ь2с2. Очевидно, они равны.
векторами а и Ъ называется угол между равными им векторами
с общим началом. Угол между одинаково направленными век-
торами считается равным нулю
Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно
произведению их абсолютных величин на косинус угла между
ними.
Доказательство. Пусть а и b — данные векторы и
Ф — угол между ними. Имеем:
Отсюда видно, что скалярное произведение ab выражается через длины векторов о, Ъ и а + b, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 225. При таком выборе системы координат координа-
(а+б) с=ас-\-Ъ.с.

или
(а-}- Ь)2 — (о-}- b) {a-f- b) = (a-f- V)a-{-(оЪ)Ь =
" аа Ъа ab -}-* ЪЪ —— а2 2ctb -f- b2,
|а + Ь|2=|а|2+ |b|2 + 2ab.
Рис. 225

166
8 класс
тами вектора а будут |а| и 0, а координатами вектора Ь будут IЬ |cos ср и l&lsincp. Скалярное произведение
аЬ=\а\ 161cos (p-f-0|6|sin q>= |а| |f>|cos ф.
Теорема доказана.
Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача (38). Докажите, что сумма квадратов диа-
гоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон.
Решение. Пусть четырехугольник ABCD — парал-
лелограмм (рис. 226). Имеем векторные равенства
АВ + AD = AC, АВ — AD = DB.
Возведем этн равенства в квадрат. Получим: АВ2 + 2АВ-аЪ-\-аЬ- = ЛС2, AB2-2AB-AD + AD2 = DB2.
Сложим эти равенства почленно. Получим:
2		АВ2+2 AD2=АС2+DB2.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство й означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.
В	с

§10. Векторы
167
99.		РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
ПО КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ
Вектор называется единичным,
если его абсолютная величина рав-
на единице. Единичные векторы,
имеющие направления положи-
тельных координатных полуосей,
называются координатными векто-
рами или ортами. Мы будем их
обозначать е\ (1; 0) на оси х и е2(0; 1)
на оси у (рис. 227).
Так как координатные векторы отличны от нуля и не колли-
неарны, то любой вектор a(ai;a2) допускает разложение по
этим векторам:
а — У.е |+ 1-162.	(*)
Найдем коэффициенты У. и р этого разложения. Умножим
обе части равенства (*) на вектор в\. Так как
а (си; а2) в\ =а\, в\ • е\ =1, e2-ei =0, то а\ =К.
Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор е2,
получим а2 = р.	_
Таким образом, для любого вектора c(ai;a2) получается
разложение
а а\ в\ -{- п2е2.
У
1	\			
ег	ё,		X	
°\		/		
	Рис.	227		
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1 2 3 4 5 6 7
1.	Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
2.	Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
3.	Что такое абсолютная величина вектора?
4.	Что такое нулевой вектор?
5.	Какие векторы называются равными?
6.	Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
7.	Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.

168
8 класс
8.		Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a i, Ог?
9.		Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
10.		Дайте определение суммы векторов. _	_
11.		Докажите, что для любых векторов а и Ь
афЬ—Ьфа.
12.		Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с
о + (Ь + с) = (а 4- b) -f- с.
13.		Докажите векторное равенство АВ-\-ВС=АС.
14.		Докажите, что для получения суммы векторов а и Ъ надо от конца вектора а отложить вектор Ь\ равный Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', равен"' о+ Ь.
15.		Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов.
16.		Дайте определение разности векторов.
17.		Дайте определение умножения вектора на число.
18.		Докажите, что абсолютная величина вектора Ха равна |Х||а|, направление вектора Ха при аФ0 совпадает с направлением вектора а, если XX), и противоположно направлению вектора а, если Х<0.
19.		Какие векторы называются коллинеарными?
20.		Докажите, что если векторы а и Ъ отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор с можно представить в виде с = Ха+р&.
21.		Дайте определение скалярного пронзведення векторов.
22.		Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с
(а-\-Ь)с=ас-\-Ъс.
23.		Как определяется угол между векторами?
24.		Чему равен угол между одинаково направленными векторами?
25.		Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
26.		Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И. обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

§10. Векторы
169

ЗАДАЧИ
1.		На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В лежит между точками А и С. Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
2.		Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и DC.
3.		Даны вектор АВ и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору АВ, если: 1) точка С лежит на прямой АВ; 2) точка С не лежит на прямой АВ.
4.		Векторы а(2;4), Ь(—1;2) и с(с1;сг) отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?
5.		Абсолютная величина вектора а(5; т) равна 13, а вектора Ь (л; 24) равна 25. Найдите тип.
6.		Даны точки А (0; 1), В(1;0), <7(1; 2), В (2; 1). Докажите
равенство векторов АВ и CD.
7.		Даны три точки А (1; 1), В( — 1; 0), С(0;1). Найдите такую точку D (*; у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
\8j Найдите вектор с, равный сумме векторов а и Ь, и абсолютную величину вектора с, если: 1) о(1; — 4), Ь( — 4;8); 2) а (2; 5), Ъ (4; 3).	_
\gL. Дан треугольник АВС. Найдите сумму векторов: 1) АС и СВ; 2) АВ и СВ; 3) АС и АВ; 4) СА и СВ.
%0. Найдите вектор с=а — Ь и его абсолютную величину, если 1) а (1; —4), Ъ (—4; 8); 2) о (-2; 7),_Ь_(4; -1).
11.		Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС—АВ=ВС.
12.		В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ
ке _М. Выразите векторы АВ и CD через векторы а — =АМ, Ъ = ВМ (рис. 228).		
13.		Начертите три произвольных вектора о, Ъ, с, как на рисун-

k с
60°
Рис. 228
Рис. 229
АР
Рис. 230

170
8 класс
ке 229. А. теперь постройте векторы, равные: 1) а+Ь +
с, 2) о — Ъ-\-с, 3) —
14.		1) Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место
неравенство \АС\ ^ \АВ\ -J- \ВС\.	_	_
- 2) Докажите, что для любых векторов а и b имеет место неравенство |a-J-b|^|a| + |b|.
15.		К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рис. 230).
16.		С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?
17.		Даны точки A (jci; уi) и В (Хг\ 1/2). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
18.		Докажите, что векторы с(1; 2) и Ъ (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы с(—1; 2) и с? (0,5; —1) противоположно направлены.
19.		Даны векторы а(3; 2) и Ь (0; —1). Найдите вектор с = = — 2а-{-4Ь и его абсолютную величину.
20.		Абсолютная величина вектора /.а равна 5. Найдите если: 1) с ( — 6; 8); 2) о(3; -4); 3) о (5; 12).
21.		В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите,
что AM=-^-{АВ-\-АС).
22.		Точки М и N являются серединами отрезков АВ и CD соответственно. Докажите векторное равенство MN=
=^(AC+BD) (рис. 231).
23.		Дан параллелограмм ABCD, АС = а, DB = b (рис. 232). Выразите векторы АВ, СВ, CD и AD через о и Ь.
24*. Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллннеарны.
25.		Даны векторы а (2; —4), b (1; 1), с(1; —2), d( — 2; —4).

Рис. 231
Рис. 232

§10. Векторы
171
Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?
26.		Известно, что векторы а(1; —1) и 6 (—2; тп) коллинеар- ны. Найдите, чему равно тп.
27.		Даны векторы а(1; 0), 6(1; 1) и с ( — 1; 0). Найдите такие числа X и ц, чтобы имело место векторное равенство с = Ха+р&.
28.		Докажите, что для любых векторов о и 6 (а6)2^а2Ь2.
29.		Найдите угол между векторами а(1; 2) и 6^1; —
30*. Даны векторы а и 6. Найдите абсолютную величину вектора а + 6, если известно, что абсолютные величины векторов о и 6 равны 1, а угол между_ними 60°.
31.		Найдите угол между векторами а и а + 6 предыдущей задачи.
32.		Даны вершины треугольника Л(1;1); В(4;1), С (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.
33.		Найдите углы треугольника с вершинами А (0; +3),
В(2;л/3), c(-f; ^) .
34.		Докажите, что векторы а(пг,п) и b(—n;m) перпендикулярны или равны нулю.
35.		Даны векторы а(3; 4) и 6(/п; 2). При каком значении тп эти векторы перпендикулярны?
36.		Даны векторы a (lj^ 0) и 6(1; 1). Найдите такое число X, чтобы вектор а-\-ХЬ был перпендикулярен вектору а.
37.		Докажите, что если а и_6 — единичные неколлинеарные векторы, то векторы а + 6 и а — 6 отличны от нуля и перпендикулярны.
38*. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
39*. Даны стороны треугольника а, 6, с. Найдите его медианы та, ть, тпс.
40.		Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
41.		Векторы о + 6 и о —6 перпендикулярны. Докажите, что |о| = |6|.
42.		Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
43.		Даны четыре точки Л (1; 1), В(2; 3), С (0; 4), D( — 1; 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.

172
8 класс
44. Даны четыре точки А (0; 0), В(1;1), С (0; 2), D( — 1; 1). Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
коллинеарны.	_
46.		Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а (6; 8) и одинаково с ним направленный. _
47.		Даны координатные векторы е\ (1; 0) и ег (0; 1). Чему
равны координаты вектора 2ei —Зег?
48*. 1) Даны три точки О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении ?.:р, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА=а и ОВ — Ъ.
2)		Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
49.		Докажите, что проекция а вектора с на ось абсцисс с координатным вектором е\ (1; 0) задается формулой
a = ke 1, где k—ce\.
50.		Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.
45.		Среди векторов

найдите единичные и укажите, какие из них

9 класс
§11. ПОДОБИЕ ФИГУР
100.		ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' — k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Рис. 233
Рис. 234

174
9 класс
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где к — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.
Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия. Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, к — коэффициент гомотетии, X и Y — две произвольные точки фигуры (рис. 235).

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем ОХ' = к-ОХ, OY'= = k • OY. Отсюда следуют векторные равенства
ОХ' = kOX, OY' = kOY.
Вычитая эти равенства почленно, получим:
Так как OY'
OY' — ОХ' = k (OY — ОХ).
-OX' = X'Y', OY — OX^XY, то TCY'^kXY.
Значит, |X'Y'\=k |ХУ|, т. е. X'Y' = к XY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы о j в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

§ 11. Подобие фигур
175
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7X1000 см = = 27 (м), 4X1000 см = 40 (м).
101.		СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А |, В\, С\, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В\ лежит между точками А\ и С\. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол АВС преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А\В\С\ (рис. 237). Подвергнем угол АВС преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2 и Сг. Треугольники А2ВС2 и А\В\С\ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2 и А\В\С\. Значит, углы АВС и А{В\С\ равны, что и требовалось доказать.
102.		ПОДОБИЕ ФИГУР
( Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия/Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: со. Запись FooF' читается так: «Фигура F подобна фигуре F

176
9 класс
Докажем, что если фигура F i подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры Fx и F3 подобны.
Пусть Х\ и У| — две произвольные точки фигуры F\. Преобразование подобия, переводящее фигуру F i в F2, переводит эти точки в точки Х2, У2. для которых X2Y2 = k[XiYi.
Преобразование подобия, переводящее фигуру Р2 в F3, переводит точки Х2, Y2 в точки Хз, У3, для которых X3Y3 = = k2X2Y 2.
Из равенств
X2Y2 = kxXxYu № = №У!
следует, что X3Y3 = k\k2X\Y\. А это значит, что преобразование фигуры Fi в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать.
В записи подобия треугольников: аАВСоо аАхВхСх— предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. с. А переходит в Ах, В — в В| и С — в С1.
Из свойств преобразования подобия следует, что,у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и АхВхСх
А А — А Ах, АВ=АВХ, АС=АСх\
АВ	ВС _ АС
A\Bi	В\С\ А\С\
103.		ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ
Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и А\В\Сх АА—АА\, АВ= АВ\. Докажем, что ААВСсо со ДА1В1С1.
АВ
Пусть k=—-. Подвергнем треугольник АхВ\С\ преобрази,
зованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то АА2—ААх, АВ2 = АВ\. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 А А = = АА2, АВ= АВ2. Далее, A2B2 — kA\B\=AB. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

§ 11. Подобие фигур
177

С

Так как треугольники А\В\С\ и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А\В{С\ и АВС подобны. Теорема доказана.
С

Задача (15). Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А\, а сторону ВС в точке Ви Докажите, что ААВСсо ДА1В1С.
Р е ш е н и е (рис. 239). У треугольников АВС и A\BiC угол при вершине С общий, а углы СА\В\ и САВ равны как соответствующие углы параллельных АВ и А\В\ с секущей АС. Следовательно, А АВС оо д А\В\С по двум углам.
104.		ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

178
9 класс
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и AiBiCi Z.C=Z.Ci и AC = kA\C\, BC = kBlC\. Докажем, что дАВСсо АА\В\С\.
Подвергнем треугольник А\В\С\ преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 240).
При этом получим Некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то ЛС2 — ЛС\. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 ЛС = Z-C2. Далее, А2С2 — kA 1С1 = АС, В2С2 — кВ\С\ —ВС. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники А\В\С\ иЛ2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и ЛВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А\В\С\ и АВС подобны. Теорема доказана.

С
0
Рис. 240
С
В Рис. 241

§11. Подобие фигур
179

Задача (31). В треугольнике АВС с острым углом С. проведены высоты АЕ и BD (рис. 241). Докажите, что Д АВС оо д EDC.
Решение. У треугольников АВС и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС = — АС cosy, DC — ВС cosy- То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, AABCoo aEDC по двум сторонам и углу между ними.
105.		ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и А\В\С\ AB — kA\B\, AC = kAiC\, BC = kB\C\. Докажем, что ДАВСоо ДА1В1С1.
Подвергнем треугольник А\В\С\ преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:
А2В2 — kA\B\ — АВ, А2С2 — kAiCi =АС, В2С2 — kBiCi =ВС.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Так как треугольники А\В\С\ и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А\В\С\ и АВС подобны. Теорема доказана.

Рис. 242

180
9 класс

Задача (36). Докажите, что у подобных треугольни-
ков периметры относятся как соответствующие стороны.
Р е ш е н и е. Пусть АВС и АХВХСХ— подобные тре-
угольники. Тогда стороны треугольника АХВХСХ пропор-
циональны сторонам треугольника АВС, т. е. АХВХ =
= kAB, B[C\ = kBC, AxCx=kAC. Складывая эти равенства
почленно, получим:
AxBx+BxCx-\-AxCx = k(AB+BC+AC).
Отсюда
А\В\ -J-UiCi "4-.А|С| AiBi AtC\ B\C\
AB+BC+AC ~ AB AC~ BC ’
т. e. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.
106.		ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 243).
Треугольники АВС и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: А АВС со дСВП. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
АВ ВС ВС ~~ BD '
или ВС—~\jAB • BD.
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:
#-=■§•• шп*
Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, -ь среднее пропорциональное между проекциями катетов 'чотенузу.

5 11. Подобие фигур
181

Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум, другим сторонам.
Пусть CD — биссектриса треугольника АВС (рис. 244). Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.
Рассмотрим общий случай, когда АСФВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин Л и В на прямую CD.
Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
АС _ AF ВС BE '
Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
AF _ AD BE BD '
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:
АС AD 	 АС ВС
ВС	BD ИЛИ AD BD ’
т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.

182
9 класс
107.		УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 245 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° — а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 246).

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, -называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 247). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 247
Рис. 248

§ 11. Подобие фигур
183
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также,- что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соот- ветствующим данному вписанному углу.
Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

о)
в

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 249, б, в). В случае, представленном на рисунке 249, б,
/АВС = Z.CBD+ AABD=±- ACOD+±- AAOD=±- ААОС.
В случае, представленном на рисунке 249, в,
ААВС= Z.CBD-/LABD=±- ACOD-±- /_AOD=±- /.АОС.
&	2*	Л

184
9 класс
Теорема доказана полностью.
Из теоремы 11.5 следует, что
вписанные углы, стороны которых
проходят через точки А и В окруж-
ности, а вершины лежат по одну
сторону от прямой АВ, равны
(рис. 250).
В частности, углы, опирающие-
ся на диаметр, прямые.
108.		ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ
ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S,
то
AS-BS=CSDS.
Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 251). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 11.5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция
Отсюда
DS __ A S
BS CS ’
AS-BS=CS'DS,
что и требовалось доказать.

Рис. 251
Рис. 252

S 11. Подобие фигур
185
Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то
АР ■ BP=СР ■ DP.
Пусть точки А и С — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция
РА _ PD РС РВ ’
Отсюда PA'PB=PC-PD, что и требовалось доказать.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Что такое преобразование подобия?
2.		Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
3.		Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
4.		Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
5.		Какие фигуры называются подобными?
6.		Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?
7.		Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.
8.		Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
9.		Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.
10.		Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
11.		Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
12.		Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
13.		Что такое плоский угол?
14.		Что такое центральный угол?

186
9 класс
15.		Какой угол называется вписанным в окружность?
16.		Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.
17.		Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.
«)
ЗАДАЧИ
1.		При гомотетии точка X переходит в точку X', а точка У — в точку У'. Как найти центр гомотетии, если точки X, X', У, У' не лежат на одной прямой?
2.		При гомотетии точка X переходит в точку X'. Постройте центр гомотетии, если коэффициент гомотетии равен 2.
3.		Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии равным 2.
4.		На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе
®
 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
и. У подобных треугольников АВС и А\В\С\ Z.^ = 30°,
АВ = 1 м, ВС = 2 м, BiC\= 3 м. Чему равны угол А\ и
сторона А[В\2
7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окруж-
ность.
8*. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окруж-
ность, касающуюся сторон угла и проходящую через точ-
ку А.
9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две
вершины лежат на одной стороне, а две другие верши-
ны — на двух других сторонах.
10.		Докажите подобие равнобедренных треугольников с рав-
ными углами при вершинах, противолежащих основа-
ниям.
11.		У двух равнобедренных треугольников углы между боко-
выми сторонами равны. Боковая сторона и основание
одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание
другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
12.		У треугольников АВС и AiBiCi Z.A= АА\, АВ= ABlt
АВ = 5 м, ВС = 7 м, AiBi = 10 м, А\С\ = Ъ м. Найдите
остальные стороны треугольников.
13.		Решите задачу 12 при условии, что АВ= 16 см, ВС —
= 20 см, AiBi = 12 см, AC—A\Ci = 6 см.
14.		Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опу-
щенная из вершины прямого угла, разбивает его на два
треугольника, подобные исходному.
15.		Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС,

§11. Подобие фигур
187
пересекает его сторону АС в точке At, а сторону ВС в точке В|. Докажите, что AABCoo AAiBiC.
16.		В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 253). Вычислите сторону квадрата.
17.		Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит его сторону АС в отношении т'.п, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
18.		В треугольнике АВС проведен отрезок DE, параллельный стороне АС (конец D отрезка лежит на стороне АВ, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если АВ = 16 см, АС = 20 см и DE = 15 см.
19.		В задаче 18 найдите отношение AD’.BD, если известно, что .AC:DE = 55:28.
20.		Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если: 1) АС = = 20 см, АВ = 17 см и BD = 11,9 см; 2) АС= 18 дм, АВ = 15 дм и AD = 10 дм.
21.		Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е (рис. 254). Докажите подобие треугольников ВСЕ и DAE.

22.		Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как тп:п.
23.		Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении т:п. В каком отношении она делит другое основание?
24.		В трапеции ABCD с диагональю АС углы АВС и ACD равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и AD соответственно равны 12 м и 27 м.
25.		Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении т:п. В каком отношении делит она вторую боковую сторону?
26.		Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ=5 см, ВС = 10 см, CD=6 см, AD = 15 см.

188
9 класс
27.		Найдите высоту треугольника AED из задачи 26, опущенную на сторону AD, если ВС = 7 см, AD = 21 см и высота трапеции равна 3 см.
28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите, что прямая EF делит основания трапеции пополам (рис. 255).
29*. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD.
1)		Докажите подобие треугольников АВС и CAD.
2)		Найдите основание треугольника АВС, если его боковая сторона равна а.
30.		Углы В и В\ треугольников АВС и А\В\С\ равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в 2,5 раза больше сторон треугольника А\В\С\, прилежащих к углу В\. Найдите АС и А\С\, если их сумма равна 4,2 м.
31.		В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и BD. Докажите, что А АВС со AEDC.
32*. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, зная углы треугольника АВС (рис. 256).
33*. Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче 32 лежат на высотах треугольника АВС.
34.		Подобны ли два равносторонних треугольника?
35.		Подобны ли треугольники АВС и А\В\С\, если:
1)		АВ = 1 м, АС = 1,5 м, ВС = 2 ы; AiBi = 10 см, AiCi = 15 см, BiCi = 20 см;
2)		АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС=1,5 м; .AiB| = 8 дм, AiCi = 16 дм, B|Ci = 12 дм;
3)		>1В = 1 м, АС = 2 м, ВС=1,25 м; AiBi = 10 см, AiC| = 20 см, В)С| = 13 см?

$ 11. Подобие фигур
189
36.		Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
37.		Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
38.		Периметр одного треугольника составляет периметра по-
1.0
добного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
39.		Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный:
1)		50°; 2) 60°?
40.		Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
41.		Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
42.		Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
43.		Катеты прямоугольного треугольника относятся как т:п. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
44.		Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м (рис. 257). Найдите высоту трубы.
45.		В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 258). Найдите сторону ромба, если АВ=с и
46*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D (рис. 259). Докажите, что AD:BD = AC:BC.
АС = Ъ.

В
А
С
Рис. 257
Рис. 258

190
9 класс
47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
48.		Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
49.		Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
50.		Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
51.		Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
52.		Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.
53.		Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
54.		На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему ранен угол ADC, если угол АВС равен сР. (Два случая.)
55.		Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол АВС равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
57.		Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
58.		Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону
X

Рис. 259
Рис. 260

§ 12. Решение треугольников
191
от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 260).
59.		Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды (рис. 261).
60.		Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
61.		Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD" = AD • BD.
62.		Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: AC-BC = CD2 (рис. 262).
С

63.		Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
64.		Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
§ 12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
109.		ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Теорема 12.1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

102
9 класс
С

с

б)
263
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС2=АВ2АС2— 2АВ-АС-cos А.
Имеем векторное равенство ВС=АС — АВ. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2 АВ • АС,
или
ВС2=АВ2 + АС2-2АВ-АС-cos А.
Теорема доказана.
Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак АС -cos А зависит от угла А: « + », если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сунне квадратов двух других сторон « ± » удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «-{-» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.

Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ъ, с.
Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Имеем с2 — b2-{-c2+ 2с-AD (рис. 264).
а2 —Ь2—с2
Отсюда AD— ±-
2с
По теореме Пифагора
CD=VАС2-ADЬ2-(—

§ 12. Решение треугольников
193

110.		ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Теорема 12.2 (теорема синусов). Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник со сто-
ронами а, Ъ, с и противолежащими углами а, р, у (рис. 265).
Докажем, что

а ■	 Ъ 	 с
sin a	sin f5 sin у ’
Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол а острый, получаем:
CD = Ъ sin а
(рис. 265, о). Если угол а тупой, то
CD=b sin (180° — a)=b sin а
(рис. 265, б). Аналогично из треугольника BCD получаем
CD=a sin р.

7 Заказ 878	Рис. 265

194
9 класс
Итак, a sin (3 = b sin а. Отсюда
Ь   а
sinft sin а *
Аналогично доказывается равенство
ъ	с
sin р sin у "
Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.

Рис. 266
Задача (13). Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отношений: -А—, —г, -А	равно 2R, где
r	sin a sin р sm у
R — радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение. Проведем диаметр BD (рис. 266). По свойству углов, вписанных в окружность, угол при вершине D прямоугольного треугольника BCD равен либо а, если точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 266, а), либо 180° — а, если они лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 266, б). В первом случае BC=BD sin а, во втором ВС = BD sin (180° — а). Так как sin (180° — a) = sin а, то в любом случае a = 2R sin а. Следовательно,
-=2R,
что и требовалось доказать.

§ 12. Решение треугольников
195
111.		СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ СТОРОНАМИ
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Пусть о и Ь — две стороны треугольника и а, р — противолежащие им углы. Докажем, что если а > р, то о > Ь. И обратно: если а> Ь, то а>р.
Если углы а и р острые (рис. 267, а), то при а > р будет sin a>sin р. А так как
sin a sin р а	Ь ’

то а > Ъ. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — а больше угла р как внешний угол треугольника, не смежный с углом р. Поэтому sin a=sin (180° — a) > sin p. И мы снова заключаем, что о> Ь.
Докажем обратное утверждение. Пусть а>Ъ. Надо доказать, что а>р. Допустим, что а^р. Если а = р, то треугольник равнобедренный и а=Ъ. Если а<р, то по доказанному а<Ъ. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а > Ь, значит a > р, что и требовалось доказать.

Задача (17). Докажите, что если в треугольнике
есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наиболь-
шая.
Решение. В треугольнике может быть только один
тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных
углов. А значит, противолежащая ему сторона больше
любой из двух других сторон треугольника.

196
9 класс
112.		РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных
сторон и углов треугольника по известным его углам и сторо-
нам. Будем обозначать стороны треугольника через а, Ь, с,
а противолежащие им углы через а, р, у (рис. 268).
Задача (26). 1) В треугольнике даны сторона а = 5 и
два угла р = 30°, у = 45°. Найдите третий угол и остальные
две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна
180°, то третий угол а выражается через заданные углы:
Ф
а-
: 180° - Р —Y = 180° - 30° - 45°=105°
Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны:
, sin В r sin 30’ г- Ь=а-——-= 5	~5■
с = а
sin а sin 105°
sin у г 0,707
sin а
0,966
0,500 , 0,966 "
s 3,66.
;2,59,
Задача (27). 1) В треугольнике даны две стороны а = 12, Ь — 8 и угол между ними у = 60°. Найдите остальные два угла и третью сторону.
Решени е. Третью сторону находим по теореме косинусов :
с = -уа'2 + Ь2 —2ad-cos у =У144+64 —2<12-8-0,500 =
=УП2«10,6»
Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинусы двух неизвестных углов и сами углы:
Ь24-с2—а2 л
cos а=———»0,191, откуда а«79°, р = 180° —а —у» «41°.

Задача (28). 5) В треугольнике даны две стороны
а = 6, Ь = 8 и противолежащий стороне а угол а = 30°.
Найдите остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме синусов находим значение
sin р:
sin Р=—-sin a=-|--sin 30°
a	6
0,667.
Этому значению синуса соответствуют два угла: Pi «42° и р2« 138°.

§ 12. Решение треугольников
197

Рассмотрим сначала угол pi ш42°. По нему находим третий угол Yi = 180° — а — р« 108° и по теореме синусов третью сторону
о-sin Vi
sin а
6-
sin 108°
sin 30“
6 °’951 °' 0,500
11,4.
Аналогично по углу p2«138° находим Y2«12° и c2«2,49.
Замечание. Мы видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения (рис. 269). При других численных данных, например при а ^90°, задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь решений.

Задача (29). 1) Даны три стороны треугольника:
о = 2, Ъ = 3, с=4. Найдите его углы.
Решение. Углы находятся по теореме косинусов:
cosa = b а =-^-=0,875, откуда а«29°.
Аналогично находится cos р=0,688, откуда Э«47° и y«180° —47° —29° = 104°.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Докажите теорему косинусов.
2.		Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон « ± * удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак « + » или * — »?
3.		Докажите теорему синусов.
4.		Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.

198
9 класс

ЗАДАЧИ
1.		Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
2.		У треугольника две стороны равны 5 ы и 6 ы, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
3.		Стороны треугольника равны а, Ъ, с. Докажите, что если a2-f-d2>c2, то угол, противолежащий стороне с, острый. Если о2 + Ь2<Сс2, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
4.		Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма.
5.		Даны стороны параллелограмма а и & и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма.
6.		Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
7.		Даны стороны треугольника с, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
8.		Найдите высоты треугольника в задаче 1.
9.		Найдите медианы треугольника в задаче 1.
10*. Найдите биссектрисы треугольника в задаче 1.
11*. Кап изменяется сторона АВ треугольника АВС, если угол С возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений (рис. 270)?
12.		У треугольника vl.BC АВ—15 см, vlC = 10 см. Может ли sinp=4~?
13.		Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отношений —-г— равно 2R, где R — радиус окруж-
sin сс sin р sin 7
ности, описанной около треугольника.
14.		Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
15.		Объясните, как найти расстояние от точки vl до недоступной точки В (рис. 271), зная расстояние АС и углы а и р.
16.		Объясните, как найти высоту х здания (рис. 272) по углам аир и расстоянию а.
17.		Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.
18.		В треугольнике vlBC АА = 40°, АВ — 60°, АС — 80°. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
19.		У треугольника АВС стороны АВ=5,1 м, ВС=6,2 м, vlC=7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?

§ 12. Решение треугольников
199

Рис. 270	Рис- 271

Рис. 272	Q
20.		Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60°?
21.		У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне АС, то ВХ<АВ.
22.		У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне АС, а точка У — на стороне ВС, то XY<AB.
<-23. На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: АС или ВС.

9 класс
(yob,
24*. Дан треугольник ABC. CD — медиана, проведенная к стороне АВ. Докажите, что если АС>ВС, то угол ACD меньше угла BCD.
25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
26.		Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
29.
1) с = 5,	р=зо°,	7 = 45°;	
2) а — 20,	а = 75°,	Р = 60°;	
3) а = 35,	Р = 40°,	7 = 120°;	
4) 6 = 12,	сс = 36°,	Р = 25°;	
5) с = 14,	а = 64°,	Р = 48°.	
Даны две	стороны и угол между ними. Найдите остальные	
два угла	и третью сторону, если:	
1) о = 12,	5 = 8,	7 = 60°;	
2) о = 7,	5 = 23,	7 = 130°;	
3) 6 = 9,	с= 17,	а = 95°;	
4) 6 = 14,	с = 10,	а = 145°;	
5) о = 32,	с = 23,	Р = 152°;	
6) о = 24,	с —18,	Р = 15°.	
В треугольнике заданы	две стороны и угол, противо-	
лежащий одной из сторон, рону треугольника, если:	. Найдите остальные углы и сто-	
1) о = 12,	5 = 5,	сс = 120°;	
2) а = 27,	5 = 9,	а = 138°;	
3) о = 34,	5 = 12,	а = 164°;	
4) о = 2,	5 = 4,	а = 60°;	
5) о = 6,	5 = 8,	а = 30°.	
Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:	
1) о = 2,	5 = 3,	с = 4;	
2) о = 7,	6 = 2,	с=8;	
3) о = 4,	6 = 5,	с = 7;	
4) о = 15,	6 = 24,	с=18;	
5) а = 23,	6 = 17,	с = 39;	
6) о = 55,	6 = 21,	с=38.	
§ 13. МНОГОУГОЛЬНИКИ
113.		ЛОМАНАЯ
Ломаной А1А2А3 ... Ап называется фигура, которая состоит из точек А\, Аз, ..., Ап и соединяющих их отрезков А\Аз,
А2А3	Ап~\Ап. Точки А\, Аз, ..., Ап называются вершинами
ломаной, а отрезки А1А2, А2А3, .... An-iAn — звеньями ло-

5 13. Многоугольники
201

маной. Ломаная называется простой, если
она не имеет самопересечений. На рисун-
ке 273, а показана простая ломаная, а на
рисунке 273, б — ломаная с самопересе-
чением (в точке В). Длиной ломаной на-
зывается сумма длин ее звеньев.
Теорема 13.1. Длина ломаной не
меньше длины отрезка, соединяющего ее
'концы.
Доказательство. Пусть А1А2А3...
...Ап — данная ломаная (рис. 274).
Заменим звенья А\Аг и А2А3 одним
звеном А1А3. Получим ломаную А\АзАа ...
...Ап. Так как по неравенству треуголь-
ника
А1А з ■< А1А 2 -f- А 2 А з,
то ломаная А1А3А4 ... Ап имеет длину, не большую, чем ис-
ходная ломаная.
Заменяя таким же образом звенья А\Аз и А3А4 звеном
А1А4, переходим к ломаной AiAaA5 ... А„, которая также имеет
длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы
придем к отрезку AiA„, соединяющему концы ломаной. Отсю-
да следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую
длины отрезка А\Ап. Теорема доказана.
Задача (1). Даны две окружности с радиусами
Д| и Лг и расстоянием между центрами d>Ri^\-R2- Чему
равны наибольшее и наименьшее расстояния между точка-
ми X и У этих окружностей?

А,

Рис. 274

202
9 класс
В

D
Рис. 275
Решение. Для ломаной 0\XYOi по теореме 13.1 О.Ог^О.Х+ХГ+УОг (рис. 275). Значит, с*<Д,+ХУ+ Отсюда XY>d—Д|—Д2. Так как AC=d—R\—R2, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d—R 1—Д2.
Для ломаной XOiOiY по той же теореме XY ^R\ +d+ 4-J?2. Так как BD=d-\-Rt +Л2, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно	-гД2.
114.		ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Ломаная называется замкнутой, если у -нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с п вершинами, а значит, и с л сторонами называется п-уголъником.
Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).
А2	Аг
А

в
А]0 А9 А7
Рис. 276
Рис. 277

§ 13. Многоугольники
203
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом- выпуклого многоугольника при данной вершине называется- угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Аг

Рис. 278	Рис. 279
Т е о р е м а1 13.2. Сумма углов выпуклого-п-угольника рав-
на 180° (п—2).
Доказательство. В случае п = 3 теорема справедли-
ва. Пусть А\Аг .... Ап — данный выпуклый многоугольник и
п>3 (рис.. 279). Проведем п — 3 диагонали: А|Аз, А\Аи ...
..., А\Ап~\. Так как многоугольник выпуклый, то эти.диагонали
разбивают его.на.л,—2.треугольника: ДА1А2А3, ДА1А3А4, ...
.... АА\Ап-\Ап. Сумма углов многоугольника. А|А2...Ал сов-
падает с суммой углов всех, этих треугольников. Сумма углов
каждого треугольника равна 180°, а. число этих треугольников
есть. л.— 2. Поэтому сумма.углов выпуклого.п-угольника А|Аг...
...А„ равна 180° *(л—2). Теорема, доказана^.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной
вершине называется угол, смежный внутреннему углу много-
угольника при этой вершине.
Задача (9). Чему равна сумма внешних углов
выпуклого л-угольника, взятых по одному при каждой
вершине?
Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника
и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма
всех внутренних и- внешних углов равна 180° • л. Но
сумма: всех внутренних углов равна 180°-(л — 2). Значит,
сумма внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, равна 180°-л —180°-(л — 2) = 360°.

а)	6)

204
9 класс
115.		ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Выпуклый многоугольник называется правильным, если
у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если
все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоуголь-
ник называется описанным около окружности, если все его
стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник
является вписанным в окружность и описанным около окруж-
ности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние верши-
ны правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссект-
рисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О —
точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с
основанием АВ и углами при основании, равными-где а —
угол многоугольника.
Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольни-
ки АВО и СВО равны по первому признаку равенства треуголь-
ников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как
стороны многоугольника, а углы при вершине В равны
Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС рав-
нобедренный с углом при вершине С, равным т. е. СО есть
биссектриса угла С.
Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и до-
казываем, что треугольник COD равнобедренный и DO —
биссектриса угла D многоугольника. И т. д.
В итоге получается, что каждый треугольник, у которого
одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая
вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти тре-
угольники имеют равные боковые стороны и равные высоты,
опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины
многоугольника находятся на окружности с центром О и радиу-
сом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны
многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом,
равным высотам треугольников, опущен-
О	\ ным из вершины О. Теорема доказана.
®	Вписанная и описанная окружности
правильного многоугольника имеют
один и тот же центр. Его называют
центром многоугольника. Угол, под ко-
торым видна сторона правильного мно-
гоугольника из его центра, называет-
ся центральным углом многоуголь-
ника.

Рис. 280

S 13. Многоугольники
205
116.		ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Найдем радиус R описанной окружности и радиус г впи-
санной окружности для правильного многоугольника со сторо-
ной а и числом сторон п (рис. 281).
Имеем:
Р =
180°
Л=ОВ=-^г=-
sin р
r=OC=r-z=-
2 sin
180°
tgP
2 tg
180°

Рис. 281
Для правильного (равностороннего) треугольника л = 3,
во
3
р=^-=60°,
д_ а _ а 2 sin 60°	’
’2 tg 60° 2УЗ*
Для правильного четырехугольника (квадрата) п = 4,
Р=^=45%
Л— и — и г— и
2 sin 45" ^J2f 2 tg 45°
а
~2’
180°
Для правильного шестиугольника п = 6, р=-^—=30°,
R=—-—=а, г - 2 sin 30°	’
a V3
2 tg 30°
Ф
Задача (16). Найдите выражения для стороны ап
правильного n-угольника через радиус R описанной около
него окружности и радиус г вписанной окружности.
Вычислите оп при п = 3, 4, 6.
Решение. Поскольку R ■■
дует:
В частности,
а„ — 2R sin
2 sin
180°
180'
•, то отсюда сле-
аз
=R т/З, o4=i?V2, a6=R.

206
9 класс
Поскольку Г—	£—
2		tg	
п
то отсюда следует:
В частности,
an = 2r tg
180°
Л
г~	2/*
а3 = 2г л/3, а4 = 2г, а6=—.
V3
117.		ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол.
360е
У правильного шестиугольника такой угол равен -^— = 60°.
Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину (А|) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку н получаем вершину (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины Аз, А^ Аь, А6 и соединяем их отрезками.
Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 283).

Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284).

§ 13. Многоугольники
207

Для построения правильного
описанного многоугольника доста-
точно провести касательные к ок-
ружности в вершинах правильного
вписанного многоугольника. Каса-
тельные, проходящие через верши-
ны правильного вписанного много-
угольника, пересекаются в верши-
нах правильного описанного много-
угольника (рис. 285).
Если в окружность вписан пра-
вильный п-угольник, то легко
построить правильный вписанный
2л-угольник. На рисунке 286 пока-
зано построение правильного вось-
миугольника.

118.		ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Теорема 13.4. Правильные выпуклые п-уголъники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Pi: AiA2...An, Р21 В\В2...Вп — правильные выпуклые п-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.
Треугольники АА2А3 и В1В2В3 равны по первому признаку. У них А\А2=В\В2, А2А2—В2В3 и АА\АгАз = АВ1В2В3.

208
9 класс

Рис. 287
Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины А\, А2, Аз переходят в вершины В\, В2, В3 соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А4 перейдет в некоторую точку С. Точки В\ и С лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2Вз. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то Z.B2B3C — АВ2В3В* и B3C=BiBi. А значит, точка С совпадает с точкой В\. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В\. Далее таким же способом заключаем, что вершина А5 переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Pi переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например
В в
гомотетии, с коэффициентом подобия k =	2 . При этом
A i Аъ
получим правильный л-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р2.
По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Р2, а значит, многоугольник Pi переводится в многоугольник Р2 преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных п-уголь- ■ников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных л-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры л-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-уголъников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

§13. Многоугольники
209
119.		ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
5 Наглядное представление о дли-
не окружности получается следую-
щим образом. Представим себе
нить в форме окружности. Разре-
жем ее и растянем за концы.
Длина полученного отрезка и есть
длина окружности. Как найти дли-
ну окружности, зная ее радиус?
Ясно, что при неограниченном уве-
личении числа сторон вписанного
в окружность правильного много-
угольника его периметр неограни-
ченно приближается к длине окружности (рис. 288). Исходя
из этого, докажем некоторые свойства длины окружности.
Теорема 13.5. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.
Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть Ki и Д2 — их радиусы, a h и h — их длины.
Допустим, что утверждение теоремы неверно и	,
например:

It ^ 1г
2R,2R2
(*)
Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон п. Если п очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров р\ и р2 вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить 1\ на р\, а h на Pi'.
2Я|	2Д2 ’	(**)
Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых п-уголь- ников относятся как радиусы описанных окружностей:
Pi _ Д|
Рг Ri
Отсюда	А это противоречит неравенсту (**). Теорема
Л1 Л 2
доказана.
Отношение длины окружности к диаметру принято обозна чать греческой буквой л (читается «пи»):

210
9 класс

Число л иррациональное. Приближенное
значение
л ^3,1416.
Приближенное значение числа л было
известно уже древним грекам. Очень прос-
тое приближенное значение л нашел
22
Архимед: — . Оно отличается от точного
значения л меньше чем на 0,002.
Так как 4-=л, то длина окружности
АН
вычисляется по формуле
Архимед —древнегре-	/ = 2лД.
ческий ученый (III в. до ц. Э.)
120.		РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в п° (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности лR. Следовательно, углу в 1° соответствует
яД	о
дуга длины ——, а углу в п соответствует дуга длины
1о0
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что
R
я

§ 13. Многоугольники
211
т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением
на . В частности, радианная мера угла 180° равна л, радиан-
180
ная мера прямого угла равна —.
/Единицей радианнои меры углов является радиан. Угол
в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу
180°
(рис. 290). Градусная мера угла в один радиан равна ж 57°.
Задача (50). Найдите радианную меру углов тре-
угольника АВС, если АА = 60°, АВ=45°.
Решение. Радианная мера угла А равна

60°-
л
180*
л
Т‘
Радианная мера угла В равна 45° •
о сумме углов треугольника АС=п—^
4- • По теореме
4
л 	5л
Т— 12 '

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Что такое ломаная, длина ломаной?
2.		Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
3.		Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
4.		Что такое плоский многоугольник?
5.		Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
6.		Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника.
7.		Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
8.		Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
9.		Что называется центром многоугольника? центральным углом многоугольника?
10.		Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного п-угольника.
11.		Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.
12.		Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?
13.		Докажите, что правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

212
9 класс
14.		Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для всех окружностей.
15.		По какой формуле вычисляется длина окружности?
16.		По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
17.		Что такое радианная мера угла?
18.		Чему равны радианные меры углов 180° и 90°?
Даны две окружности с радиусами R i и 1?2 и расстоя-
нием между центрами	Чему равны наиболь-
шее и наименьшее расстояния между точками X и У этих окружностей?
2.		Решите задачу 1 при условии, что d<CR\—R2 (рис. 291).
3.		Докажите, что если вершины ломаной ис лежат па одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
4.		Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
5.		Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
6.		Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
7.		Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 292).
8.		Сколько диагоналей у н-угольника?
9.		Чему равна сумма внешних углов выпуклого л-угольни- ка, взятых по одному при каждой вершине?

ЗАДАЧИ

X
Рис. 291
Рис. 292

S 13. Многоугольники
213
10.		Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
11.		Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны.
12.		Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°;
2)		150°?
13.		Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
14.		Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2л-угольника являются вершинами правильного л-уголь- ника.
15.		Докажите, что середины сторон правильного п-угольника являются вершинами другого правильного п-угольника.
16.		Найдите выражения для стороны ап правильного п-угольника через радиус R описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности. Вычислите о„ при п = = 3, 4, 6.
17.		Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
18.		У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
19.		Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
20.		В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
21.		Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Определите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
22.		Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
23J Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле as=R-\J2—-\/2, где R — радиус описан- "оной окружности.
24.		Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычис- ^ ляется по формуле ai2=tf д/2 —-\/3, где R — радиус описанной окружности.
25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
26. Сторона правильного многоугольника равна с, а радиус

214
9 класс
описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности.
27.		Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности^.
28.		Выразите сторону Ъ правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
29.		Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника. через радиус R окружности и сторону Ъ правильного описанного многоугольника с тем же числом сто-
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
fe
рон.
Впишите в окружность правильный 12-угольник.
Опишите около окружности правильный треугольник,
квадрат^ правильный восьмиугольник.
Радиусы вписанной и описанной окружностей одного пра-
вильного л-угольника равны Г| и й], а радиус вписанной
окружности другого правильного л-угольника равен г2.
Чему равен радиус: описанной окружности другого п-
угольника?
Периметры двух правильных л-угольников относятся как
а'.Ъ. Кадс относятся радиусы их вписанных и описанных
окружностей?
Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м;
2) 15 м.
На сколько изменится длина окружности, если радиус
изменится на 1. мы?
Найдите отношение периметра правильного вписанного
8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным
значением я:.
Решите задачу 36 для правильного 12-угольника.
Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м сос-
тавляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус
земного шара увеличился на 1 см?
Внутри окружности радиуса R расположены л равных
окружностей, которые касаются друг друга и данной
окружности. Найдите радиус этих окружностей, если
число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 293).
Решите предыдущую задачу, если окружности располо-
жены вне данной окружности.
Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в ми-
нуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отве-
чающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°; 4) 270°.

§ 14. Площади фигур
215

44.		Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1)	; 2)	3)
12	3
4)		•—; 5) —; 6) — окружности?
45.		Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две _ точки на ее поверхности, расстояние между которыми
g
равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км.
По радиусу Д = 1 м найдите длину дуги, отвечающей
центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45';
5)		60°30'; 6) 150°36'.
47.		По данной хорде о найдите длину ее дуги, если градусная
/т*.л мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
(48./ По данной длине дуги I найдите ее хорду, если дуга со-
держит: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
Найдите радианную меру углов: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
150J Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если
>С у1А = 60о, Z.B=45°.
51уНайдите градусную меру угла, если его радианная мера
равна: 1) -§-; 2) -J-; 3)	4) f-; 5) §■; 6) f-.
§ 14. ПЛОЩАДИ ФИГУР
121.		ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ
Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, чтсг плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником (рис. 294).
Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диа-

216
9 класс

Рис. 294	Рис. 295
гоналями, проведенными из какой-нибудь его вершины (рис. 295). В этом параграфе мы рассматриваем только плоские многоугольники и поэтому повторять каждый раз слово «плоский» не будем.
Дадим определение площади для простых фигур.
Для простых фигур площадь — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1)		Равные фигуры имеют равные площади.
2)		Если фигура разбивается па части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
3)		Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах (м2). Если сторона квадрата 100 м, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрата 1 км, то площадь будет в квадратных километрах, и т. п.
122.		ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Найдем площадь прямоугольника со сторонами а, Ь. Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.
Пусть ABCD и AB\C\D — два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 296, а). Пусть S и Si — их площади. Докажем,
С
что -=-=• . р . Разобьем сторону АВ прямоугольника на боль-
О! А.3\
АВ
шое число п равных частей, каждая из них равна —. Пусть

§ 14. Площади фигур
, 217
тп — число точек деления, которые лежат на стороне АВ\. Тогда (^)	(m + 1).
Отсюда, разделив на АВ, получим:
m ^.ABi ^ m , 1
п ''' АВ ^ л ' п
(*)
Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на п равных
£
прямоугольников. Каждый из них имеет площадь Прямоугольник AB\C\D содержит первые m прямоугольников, считая снизу, и содержится вт+1 прямоугольниках. Поэтому
(4) m<S,<(-§-) (m + 1).
Отсюда

(**)
in	о
Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа- —+ и -5- заклю-
Ао о
чены между и	Поэтому они отличаются не более чем

Рис. 296

218
9 класс
на —. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это л
может быть только при	» что 11 требовалось доказать.
Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами а, b (рис. 296, б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь:
Перемножая эти равенства почленно, получим:
S=ab.
Итак, площадь прямоугольника со сторонами а, Ь вычисляется по формуле S=ab.
123.		ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Пусть ABCD — данный параллелограмм. Если он не явля-
ется прямоугольником, то один из его углов — А или В — ост-
рый. Пусть для определенности угол А острый, как изобра-
жено на рисунке 297.
Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую CD.
Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей паралле-
лограмма ABCD и треугольника ADE.
Опустим перпендикуляр BF из вершины В на прямую CD.
Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей прямо-
угольника ABFE и треугольника BCF.
Прямоугольные треугольники ADE и BCF равны, а значит,
имеют равные площади. Отсюда
следует, что площадь параллело-
грамма ABCD равна площади пря-
моугольника ABFE, т. е. равна
AB-BF.
Отрезок BF называется высотой
параллелограмма, соответствую-
щей сторонам АВ и CD.
Итак, площадь параллелограм-
ма равна произведению его сторо-
ны на высоту, проведенную к этой
стороне.	Рис. 297
А	В

5 14. Площади фигур
219
124.		ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пусть АВС — данный треуголь-
ник (рис. 298). Дополним этот
треугольник до параллелограмма
ABCD, как указано на рисун-
ке. Площадь параллелограмма рав-
на сумме площадей треугольников
АВС и CD А. Так как эти тре-
угольники равны, то площадь па-
раллелограмма равна удвоенной
площади треугольника АВС. Высота параллелограмма, соот-
ветствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС,
проведенной к стороне АВ.
Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту:
S=±-ah.
Докажем теперь, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.
Пусть АВС — данный треугольник (рис. 299). Докажем, что
S=±-AB-ЛС-sin А.
Проведем в треугольнике АВС высоту BD. Имеем
s=\ac-bd.
О	С

Рис. 298

Рис. 299

220
9 класс
Из прямоугольного треугольника ABD BD=AB~ sin а, если угол а острый (рнс. 299, а), BD — AB sin (180° — а), если угол а тупой (рис. 299,6). Так как sin (180° — а)=sin а, то в любом случае BD=AB- sin а. Следовательно, площадь треугольника S=-|-.AC* AB*sin А, что и требовалось доказать.
125.		ФОРМУЛА ГЕРОНА ДЛЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Задача (29). Выведите формулу Герона1 для пло-
щади треугольника:
S=^p(p—a)(p— b)(p — c),
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, а р=—^	
полупериметр.
Решение. Имеем:
S=~ab sin у.
где у — угол треугольника, противолежащий стороне с. По теореме косинусов
с2 = а2 + Ь2 — 2ab cos у.
Отсюда
Значит,
cos у —
а2 + Ь2 —
2а Ь
с2
sin2y = 1 — cos2 у = (1 — cos y) (1 + cos y) =
2ab — a2 — b2 + c2 2ab + a2 + b2 — c2 _	c2—(a—b)2 (a + b)2 — c2
2ab	2ab	~	2ab "	2ab
=—7^2 (c-o + b) {c + a-b) (a + b-c) {a+b + c).
Замечая, что a-\-b-\-c = 2p, a-\-b — c = 2p — 2c, o-f c—b = — 2p — 2b, c-a-\-b = 2p — 2a, получаем:
sin Y = jj;-^p{p — a)(p — b){p — c).
Таким образом,
S=-^-ab sin y=Vp Cp — °)	(P-~c)-
1 Герои Александрийский — древнегреческий ученый, живший в I в.н.э.

§ 14. Площади фигур
221
126.		ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 300). Диагональ тра-
пеции АС разбивает ее на два треугольника: АВС и CDA.
Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих
треугольников. Площадь треугольника АВС равна 4-АВ-СЕ,
площадь треугольника ACD равна DC-AF. Высоты СЕ и AF
в
этих треугольников равны расстоянию между параллельными
прямыми АВ и CD. Это расстояние называется высотой тра-
пеции.
Следовательно, площадь трапеции равна произведению по-
лусуммы ее оснований на высоту: S=^^'h.
А
F D	С
А	ЕВ
Рис. 300

Рис. 301

Задача (40). Докажите, что если диагонали четырех-
угольника пересекаются, то площадь четырехугольника
равна половине произведения диагоналей на синус угла
между ними.
Решение. Площадь S четырехугольника равна
сумме площадей треугольников АВС и ADC (рис. 301):
S=-i-АС■BE+±-АС..DF =
=4-AC-BO-sin а+4-.АС"DO-sin а =
Л	А
=^-АС sin а (ВО-f-OD)=-^-АС • BD • sin а,
что и требовалось доказать.

222
9 класс
127.		ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА

Задача (42). Выведите следующие формулы для ра-
диусов описанной (R) и вписанной (г) окружностей тре-
угольника:
г>	аЪс_	2S
4 S ’ г а + Ь + с’
где а, Ь, с — стороны треугольника, a S — его площадь. Решение. Начнем с формулы для R. Как мы знаем,
R = ——, где а — угол, противолежащий стороне а тре- 2 sin а
угольника.
Умножая числитель и знаменатель правой части на Ъс и замечая, что -|-bcsina = S, получим:
В

Выведем формулу для г (рис. 302). Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и ОСА:
S=\cr+\ar+\br.
Отсюда
_ 2S Г a+b+с’
12В. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
Пусть F' и F" — две подобные простые фигуры. Выясним, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура F’ переходит в фигуру F”.

§ 14. Площади фигур
223

Разобьем фигуру F' на треугольники Дf, Д£, Д3,... (рис. 303). Преобразование подобия, переводящее фигуру F' в F", переводит эти треугольники в треугольники Д{% Дг'» Дз', ••• разбиения фигуры F". Площадь фигуры F' равна сумме площадей треугольников ДДг, ..., а площадь фигуры F" равна сумме площадей треугольников Д", Дг', ... .
Если коэффициент подобия равен ft, то размеры треугольника Д" в ft раз больше соответствующих размеров треугольника Д„. В частности, стороны и высоты треугольника Д" в ft раз больше соответствующих сторон и высот треугольника Ап. Отсюда следует, что
S(A'n')=k2S(A'n).
Складывая эти равенства почленно, получим:
S{F”)=k2S(F').
Коэффициент подобия ft равен отношению соответствующих линейных размеров фигур F” и F'. Поэтому площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
129.		ПЛОЩАДЬ КРУГА
Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то ее площадь равна сумме площадей этих треугольников. Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом.
Данная фигура имеет площадь S, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S. Применим это определение к нахождению площади круга.

224
9 класс

Рис. 304

Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 304).
Площадь круга равна половине произведения длины, ограничивающей его окружности па радиус.
Докажем это. Построим два правильных п-угольника: Pi — вписанный в круг и Р2 — описанный около круга (рис. 305). Многоугольники Р| и Р2 являются простыми фигурами. Многоугольник Р2 содержит круг, а многоугольник Pi содержится в круге.
Радиусы, проведенные в вершины многоугольника Pi, разбивают его на п треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому
SPl = п SA0D.
Так как SA0D = АС• ОС = АС-АО-cos а, то
SPi = (nAC) АО cos	cos а<
где р — периметр многоугольника Рь Л — радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника Р2:
SPl = п SРоР,
Sbof=-AB-AO=—-AO,
cos а
„ (п АС) АО pR ЬР,	cos а 2 cos а ’
Итак, многоугольник Pi, содержащийся в круге, имеет площадь
PR

§14. Площади фигур
225
а многоугольник Рг, содержащий круг, имеет площадь
о рД Рг 2 соз а ’
Так как при достаточно большом п периметр р отличается сколь угодно мало от длины I окружности, a cos а сколь угодно мало отличается от единицы, то площади многоугольников
IR
Pi и Рг сколь угодно мало отличаются от —. Согласно определению это значит, что площадь круга
S=

2
что и требовалось доказать.
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 306).
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле
S~ 360
где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствующего
центрального угла.
Круговым сегментом называется общая часть круга и полу-
плоскости (рис. 307).
Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по
формуле

где а — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, a SA — площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак « — * надо брать, когда а <180°, а знак « + * надо брать, когда а >180°.

Рис. 306
8 Заказ 878
Рис. 307

226
9 класс

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Сформулируйте свойства площади для простых фигур.
2.		Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
3.		Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
4.		Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
5.		Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.
6.		Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
7.		Как относятся площади подобных фигур?
8.		Выведите формулу площади круга.
9.		По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?

1.
2.
3.
4.
ЗАДАЧИ
Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 308).
Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?

5.		Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
6.		Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
7.		Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 49, а его площадь 144 м2?
8.		Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2?
9.		Параллелограмм и прямоугольник

§14. Площади фигур
227
имеют одинаковые стороны. Найдите острый, угол параллелограмма, если площадь его равна половине площа ди прямоугольника.
10.		Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
11.		Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
12.		Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
13.		Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
14.		Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1 : 2, а площадь ромба равна 12 см2.
15.		Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
16.		* Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника
параллелограмм.
17.		Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
18.		Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а.
19.		У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне
4 см?
20.		Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е.
21.		Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
22.		Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R.
23.		Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
24.		Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
25.		У треугольника АВС АС = а, ВС = Ъ. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
26.		Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
27.		Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.

228
9 класс
28.		* Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежа
щим к ней углам а и р.
29.		Выведите формулу Герона для площади треугольника: S=Vp (р—а) (р—Ь) (р—с), где а, Ь, с — длины сторон треугольника, а р — полупериметр.
30.		Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13,
- '' 14, 15;^) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) Ц-,	, 6; 5) 13, 37 Щ,
47Тз; 6) 2Т2’ 3Й’ 1’83'
31.		Стороны треугольника о, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
32.		Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
33.		Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
34.		Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
35.		Найдите высоту треугольника со сторонами 2 —, 3 — ,
1,83, проведенную к стороне 2-^-.
36.		Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 и наибольшую высоту треугольника
п. 25 29 . >> , о о гг 12 а н ^
со сторонами: 3) — , —, 6; 4) 13, 37 -jg , 47 —.
37.		Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
38.		В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
39.		В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 ми диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
40.		Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
41*. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
42.		Выведите следующие формулы для радиусов описанной {R) и вписанной (г) окру.-кпостсй треугольника:
г, . abc	_ 2S
П 4 S’	а+Ь + с’
где а, Ъ, с — стороны треугольника, a S — его площадь.

§14. Площади фигур
229
43.		Найдите радиусы описанной (Д) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13,. 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
44.		Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
45.		Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь и вписанной в него.
46.		Найдите радиус г вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
47.		Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
48.		Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
49.		Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
50.		Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?
51.		Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна h.
52.		Периметры правильных л-угольников относятся как а:Ъ. Как относятся их площади?
53.		Найдите площадь круга, если длина окружности I.
54.		Найдите площадь кругового кольца (рис. 309), заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) а и Ъ, а>Ъ.

230
9 класс
55.		Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в т раз?
56.		Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника.
57.		Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
58- Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него.
59.		Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
60.		Дана окружность радиуса R. Найдите площадь сектора,
'	соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R; 2) I.
61*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием а
И ВЫСОТОЙ
62. Найдите площадь той части круга, которая риСПОлОлъСНи вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга

10 класс
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 15. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ
130.		АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так :ке как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола (рис. 311, а) и поэтому будем изображать ее в виде параллелограмма (рис. 311, б). Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть плоскости, но представляем ее неограниченно продолженной во все стороны. Плоскости обозначаются греческими буквами а, 0, V. - •

Рис. 311

232
10 класс
Введение нового геометрического образа — плоскости заставляет расширить систему аксиом. Поэтому мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:
С|. Какова бы пи была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей,
Ся, Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости аир имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
Сз. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Это значит, что если две различные прямые а и b имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ъ. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом I—IX планиметрии и группы аксиом С.
Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам IV, VII,"VIII, 1Х. Приведем эти ~уточненные формулировки.
IV.		Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
VII.		От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180*, и только один.
VIII.		Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
IX.		На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Для удобства изложения напомним аксиому I.
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

§ 15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
233
131.		СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ПРЯМУЮ И ДАННУЮ ТОЧКУ
Теорема 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть АВ — данная прямая и С — не лежащая на ней точка (рис. 312). Проведем через точки А и С прямую (аксиома I). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость а (аксиома Сз). Она проходит через прямую АВ и точку С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна.
Допустим, существует другая плоскость а\ проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости а и а' пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

I

Задача (7). Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая (рис. 313). По аксиоме I существует точка А, не лежащая на прямой с. По теореме 15.1 через прямую а и точку А можно провести плоскость, обозначим ее ai. По аксиоме С| существует точка В, не лежащая в плоскости ai. Проведем через прямую а и точку В плоскость сс2. Плоскости ai и аг различны, так. как точка В плоскости сс2 не лежит на плоскости СС1.

234
10 класс
132.		ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
С ПЛОСКОСТЬЮ
Теорема 15.2. Если две точки
прямой принадлежат плоскости, то
вся прямая принадлежит этой плос-
кости.
Доказательство. Пусть
а — данная прямая на — данная
плоскость (рис. 314). По аксиоме I
существует точка А, не лежащая
на прямой а. Проведем через пря-
мую а и точку А плоскость а'.
Если плоскость а' совпадает с а, то плоскость а содержит пря-
мую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость а' от-
лична от сс, то эти плоскости пересекаются по прямой а',
содержащей две точки прямой а. По аксиоме I прямая а'
совпадает с а, и, следовательно, прямая о лежит в плоскости а.
Теорема доказана.
Из теоремы 15.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней, прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке (рис. 315).

а*
/

Задача (9). Даны две различные прямые, пересекаю-
щиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие
обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат
в одной плоскости.

Рис. 316

§ 15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
235
Решение. Проведем через данные прямые о и Ь плоскость а (рис. 316). Это можно сделать по аксиоме Сз. Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки М и N (точки пересечения с данными прямыми). По теореме 15.2 эта прямая должна лежать в плоскости сс.
133.		СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ДАННЫЕ ТОЧКИ
Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 317). Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость ос. Эта плоскость содержит точки А, В, С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 15.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме Сз такая плоскость единственна.
Рис. 317
Задача (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой о (аксиома I). Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 15.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 15.2). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

236
JO класс
134.		ЗАМЕЧАНИЕ К АКСИОМЕ I
Аксиома I в списке аксиом стереометрии приобретает новый
смысл по сравнению с тем, который она имела в планиметрии.
В планиметрии эта аксиома утверждает существование точек
вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая.
Именно в таком смысле эта аксиома применялась нами при
построении геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверж-
дает вообще существование точек, не лежащих на данной пря-
мой. Из нее непосредственно не следует, что существуют точки
вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это
требует специального доказательства. Дадим такое доказатель-
ство.
Пусть а — плоскость и о — прямая в этой плоскости
(рис. 318). Докажем существование точек в плоскости а, не ле-
жащих на прямой о.
Отметим точку А на прямой а
и точку А' вне плоскости а. Про-
ведем плоскость а' через пря-
мую а и точку А'. Возьмем точку В
вне плоскости а' и проведем через
прямую А А' и точку В плоскость р.
Плоскости аир пересекаются
по прямой Ь, проходящей через
точку А и отличной от прямой а.
Точки этой прямой, отличные от А,
лежат в плоскости а вне прямой а,
что и требовалось доказать.

135.		РАЗБИЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПЛОСКОСТЬЮ НА ДВА ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X uY принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.
Доказательство (не для запоминания). Пусть а — данная плоскость. Отметим точку А, не лежащую в плоскости а. Такая точка существует но аксиоме Ci. Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости а, на два полупространства следующим образом. Точку X отнесем к первому полупространству, если отрезок АХ не пересекает плоскость а, и ко второму полупространству, если отрезок АХ пересекает плоскость а. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме.

§ IS. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
237
Пусть точки X и У принадлежат
первому полупространству. Прове-
дем через точки А, X и Y плос-
кость ос'. Если плоскость а' не пере-
секает плоскость а, то отрезок ХУ
тоже не пересекает эту плоскость.
Допустим, что плоскость а' пере-
секает плоскость а (рис. 319). Так
как плоскости различны, то их пе-
ресечение происходит по некоторой
прямой а. Прямая а разбивает плос-
кость а' на две полуплоскости. Точки X и У принадлежат
одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка А.
Поэтому отрезок XT не пересекает прямую а, а значит, и плос-
кость а.
Если точки X и У принадлежат второму полупростран-
ству, то плоскость а' заведомо пересекает плоскость а, так как
отрезок АХ пересекает плоскость а. Точки X и У принадлежат
одной полуплоскости разбиения плоскости а' прямой а. Следо-
вательно, отрезок ХУ не пересекает прямую а, а значит, и
плоскость а.
Если, наконец, точка X принадлежит одному полупростран-
ству, а точка У — другому, то плоскость а' пересекает плос-
кость а, а точки X и У лежат в разных полуплоскостях
плоскости а' относительно прямой а. Поэтому отрезок ХУ пере-
секает прямую а, а значит, и плоскость а. Теорема доказана.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
о
1.		Что такое стереометрия?
2~. Сформулируйте аксиомы группы С.
3.		Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
4.		Докажите, что если две точки прямой принадлежат плос-
^ кости, то вся прямая принадлежит плоскости.
( 5. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной пря-
мой, можно провести плоскость, и притом только одну.
ЗАДАЧИ
1.		Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD ие пересекаются.
2.		Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
3.		Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Рис* 319

238	10 класс

4.		Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рис. 320).
5.		Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая Ь, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересек а юте я.
6.		Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
— 7. - Докажите, что через прямую можно провести две разлнч	
ные плоскости.
8*. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую (рис. 321).
9.		Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
10.		Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
11.		Докажите, что если прямые АВ и CD по лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.
12.		Даны четыре точки, не лежащие в одлой плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните ответ.
13.		Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
239
14*. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
§ 16. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
136.		ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис. 322).

Ф
Задача (3). Докажите, что все прямые, пересекаю-
щие две данные параллельные прямые, лежат в одной
плоскости.
Решение. Так как данные прямые а и Ь параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 323). Обозначим ее а. Прямая с, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данными прямыми. По теореме 15.2 эта прямая лежит в плоскости а. Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости а.
Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Замечание. Утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.
Доказательство. Пусть а — данная прямая^ и А —

240
10 класс

точка, не лежащая на этой пря-
мой (рис. 324). Проведем через
прямую о и точку А плоскость а.
Проведем через точку А в плоскос-
.ти а прямую а ь параллельную а.
Докажем, что прямая а\, парал-
лельная о, единственна.
Допустим, что существует дру-
гая прямая 02, проходящая через
точку А и параллельная прямой а.
Через прямые а и Ог можно провес-
ти плоскость с&2. Плоскость иг проходит через прямую а и точ-
ку А; следовательно, по теореме 15.1 она совпадает с сс. Теперь
по аксиоме параллельных прямые а\ и аг совпадают. Теорема
доказана.
Рис. 324
137.		ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые Ъ и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые Ъ и с параллельны.
Случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть 0 — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость, в которой лежат прямые с и с. Плоскости 0 и у различны (рис. 325). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость yi через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость 0 по прямой Ъ\.
Прямая Ъ\ не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая Ь\ лежит в плоскости 0. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ъ\ лежит в плоскости yi- Но прямые а и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая Ь\ лежит в плоскости 0 и .не пересекает прямую а, то она параллельна а, -а значит, совпадает с Ъ по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая с прямой Ъ\, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости yi) и не пересекает ее. Значит, прямые Ъ и с параллельны. Теорема доказана.
/Л. Задача (11). Докажите, что середины сторон прост- ранственного четырехугольника являются вершинами па- \_J раллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
Решение. Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (рис. 326). Пусть Ai, В\, С\, Di — сере

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
241

Рнс. 325	Рис. 326
дины его сторон. Тогда А\В\ — средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, C\D\ — средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС. По теореме 16.2 прямые А\В\ \iC\D\ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых A\D\ и В\С\. Итак, четырехугольник A\B\C\D\ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.
138.		ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость называются параллельными, если они
не пересекаются.
Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плос-
кости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости,
то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть а — плоскость, а — не лежа-
щая в ней прямая и. ai — пря-
мая в плоскости а, параллель-
ная прямой а. Проведем плоскость
at через прямые а и at (рис. 327).
Плоскости а и а\ пересекаются
по прямой а\. Если бы прямая а
пересекала плоскость а, то точка
пересечения принадлежала бы пря-
мой а\. Но это невозможно, так
как прямые о и а\ параллельны.
Итак, прямая а не пересекает плос-
кость а, а значит, параллельна
плоскости а. Теорема доказана.

10 класс
2 ;

Задача (15). Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает
и другую.

Рис. 328
Решение. Пусть а и Ъ —
две параллельные прямые и а —
плоскость, пересекающая прямую а
в точке А (рис. 328). Проведем через
прямые а и b плоскость. Она
пересекает плоскость а по некото-
рой прямой с. Прямая с пересекает
прямую а (в точке А), а значит, пе-
ресекает параллельную ей пря-
мую Ъ. Так как прямая с лежит в
плоскости а, то плоскость а пере-
секает прямую Ъ.
139.		ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть аир — данные плоскости, a i и 02 — прямые в плоскости а, пересекающиеся в точке A, bi и Ь2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости р (рис. 329). Допустим, что плоскости аир не параллельны, т. е.'пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а\ и 02, как параллельные прямым Ь\ и Ь2, параллельны плоскости р, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости а через точку А проходят две прямые (oi и аг), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Рис. 329
Рис. 330

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
243

Задача (19). Докажите, что через две скрещиваю-
щиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
Решение. Пусть а и Ъ — данные скрещивающиеся
прямые (рис. 330). Через произвольную точку прямой а
проведем прямую Ъ', параллельную Ъ, а через произволь-
ную точку прямой Ъ проведем прямую а', параллельную а.
Теперь проведем две плоскости: одну через прямые а и Ь',
а другую через прямые b и а'. По теореме 16.4 эти
плоскости параллельны. В первой из них лежит прямая
а, а во второй — прямая Ъ.
140.		СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ
Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Проведем в данной плоскости а какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и Ъ (рис. 331). Через данную точку А проведем параллельные им прямые си и Ъ\. Плоскость р, проходящая через прямые 0| и 5», по теореме 16.4 параллельна плоскости а.
Допустим, что через точку А проходит другая плоскость Pi, тоже параллельная плоскости а (рис. 332). Отметим на плоскости pi какую-нибудь точку С, ие лежащую в плоскости р. Проведем плоскость у через точки А, С и какую-нибудь точку В плоскости а. Эта плоскость пересечет плоскости а, р и pi по прямым Ь, а и с. Прямые а и с не пересекают прямую Ъ, так как •не пересекают плоскость а. Следовательно, они параллельны

244
10 класс
прямой Ъ. Но в плоскости v через точку А может проходить только одна прямая, параллельная прямой Ь. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
я Задача (23). Плоскости а и {3 параллельны плос- (6\ кости у. Могут ли плоскости аир пересекаться?
Решение. Плоскости аир не могут пересекаться. Если бы плоскости аир имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные плоскости у. А это противоречит теореме 16.5.

141.		СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если две параллельные плос-
кости пересекаются третьей, то пря-
мые пересечения параллельны
(рис. 333).
Действительно, согласно опре-
делению параллельные прямые —
это прямые, которые лежат в од-
ной плоскости и не пересекаются.
Наши прямые лежат в одной
плоскости — секущей плоскости.
Они не пересекаются, так как не
пересекаются содержащие их па-
раллельные плоскости, оничнт, пря-
мые параллельны, что и требова-
лось доказать.
Задача (33). Даны две параллельные плоскости at и
а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей.
Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть
Х[ и Х2 — точки пересечения ее с плоскостями ai и а2.
Докажите, что отношение длин отрезков АХi ’.АХ2 не зави-
сит от взятой прямой.
Решение. Проведем через точку А другую прямую
и обозначим через У| и У2 точки пересечения ее с плоскос-
тями ai и а2 (рис. 334). Проведем через прямые АХ\ п
AYI плоскость. Она пересечет плоскости ai и а2 по парал-
лельным прямым X\Y 1 и X2Y2. Отсюда следует подобие
треугольников AX{Y\ и АХ2У2. А из подобия треуголь-
ников следует пропорция
Рис. 333
Ф
я1Л. 2	Y2 *
т. е. отношения АХ\ :АХ2 и AY\: АУ2 одинаковы для обеих прямых.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Действительно, пусть ai и а2 — параллельные плоскости,

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
245

а и & — пересекающие их параллельные прямые, А\, А2 и В\,
В2 — точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 335). Про-
ведем через прямые а и Ъ плоскость. Она пересекает плоскости
cci и а2 по параллельным прямым А\В\ и А2В2. Четырехуголь-
ник А\В\В2А2 — параллелограмм, так как у него противолежа-
щие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежа-
щие стороны равны. Значит, AiA2=B\B2, что и требовалось до-
казать.
«) ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
НА ПЛОСКОСТИ
Для изображения пространственных фигур на плоскости
обычно пользуются параллельным проектированием. Этот спо-
соб изображения фигуры состоит в следующем. Берем произволь-
ную прямую ft, пересекающую плоскость чертежа а, проводим
через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную
Л. Точка А\ пересечения этой
прямой с плоскостью чертежа бу-
дет изображением точки А (рис. 336).
Построив таким образом изобра-
жение каждой точки фигуры, по-
лучим изображение самой фигу-
ры. Такой способ изображения
пространственной фигуры на плос-
кости соответствует зрительному
восприятию фигуры при рассмат-
ривании ее издали.
Отметим некоторые свойства
изображения фигуры на плос-
кости, вытекающие из описанного
ее построения.

Рис. 336

246
10 класс
Прямолинейные отрезки фигу-
ры изображаются на плоскости
чертежа отрезками (рис. 337).
Действительно, все прямые, про-
ектирующие точки отрезка АС,
лежат в одной плоскости, пере-
секающей плоскость чертежа а по
прямой А\С\. Произвольная точ-
ка В отрезка АС изображается
точкой В\ отрезка А\С\.
3		а м е ч а н и е. В только что до-
казанном свойстве и далее пред-
полагается, конечно, что проекти-
руемые отрезки не параллельны
направлению проектирования.
Параллельные отрезки фигуры
изображаются на плоскости чертежа параллельными отрез-
ками (рис. 338).		
Действительно, пусть АС и А'С' — параллельные отрезки фигуры. Прямые A\Ci и А\С[ параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и АА1, а вторая — через прямые А 'С' и А'А{.
Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании. Покажем, например, что (рис. 339)
АВ 	 А[В[	/ \
	 ВС В,С, *	' '
С

Проведем через точку В прямую А2С2, параллельную AiCi. Треугольники ВАА2 и ВСС2 подобны. Из подобия треугольников и равенств А \В\ = А2В и В\С\ =ВС2 следует пропорция (*).
А	А’

Рис. 338
Рис. 339

$ 16. Параллельность прямых и плоскостей
247

Задача (37). Дана параллельная проекция треуголь-
ника. Как построить проекции медиан этого треуголь-
ника?
Решение. При параллельном проектировании сохра-
няется отношение отрезков прямой. Поэтому середина
стороны треугольника проектируется в середину проекции
этой стороны. Следовательно, проекции медиан треуголь-
ника будут медианами его проекции.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Какие прямые в пространстве называются параллель- - ными?
2.		Какие прямые называются скрещивающимися?
3.		Докажите, что через точку вне данной прямой можно
‘ провести прямую, параллельную этой прямой, и притом. только одну.
.4. Докажите признак параллельности прямых.
5.		Что значит: прямая и плоскость параллельны? 1'	:	:
6.		Докажите признак параллельности прямой и плоскости^
7.		Какие плоскости называются параллельными?	..
8.		Докажите признак параллельности плоскостей.	•-
9.		Докажите, что через точку вне данной плоскости молено провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
10.		Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
11.		Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
12.		Перечислите свойства параллельного проектирования.

ЗАДАЧИ
1.		Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.
2.		Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и &, провести две разл1гчные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и Ь? Объясните ответ.
3.		Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
4.		Прямые а и Ъ пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой Ь и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

248
10 класс

5. Через концы отрезка АВ ц его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Ль Si и Mi. Найдите длину отрезка ММ\, если отрезок АВ не пересекает плоскость (рис. 340) и если:
1) AAi = 5 м, SBi = 7 x.i; 2) ААi = 3,6 ды, BBi = 4,8 дм;
3) ААi = 8,3 сы, BBi = 4,1 см; 4) AAi=a, ВВ\ — Ь.
G*. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В\пС\. Найдите длину отрезка ВВь если: 1) CCj = 15 см, АС:ВС = 2:3;
—2) CCi =8,1-см, АВ:АС = 11:9; 3) АВ=6 см, АС:CCi =— = 2:5; 4) АС = а, ВС = Ъ, CCi = c.
8*. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках Ai, Bi, Ci, D\ (рис. 341). Найдите длину отрезка DD\, если: 1) AAi = 2 м, BBi =3 м, CCi = 8 м; 2) AAi =4 м, ВВ, = 3 м, СС, = 1 м; 3) АА, = а, BB, = b, CCi=c.
9.		Прямые а и Ь не лежат к одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и Ы
10.		Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
11.		Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
12*. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от-

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
249
резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.
13.		Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А\, а сторону ВС — в точке В\. Найдите длину отрезка А\В\, если: 1) АВ = 1Ъ см, AAi‘.AC=2:3; 2) АВ = 8 см, AAi:AiC = 5:3; 3) BiC = 10 см, АВ:ВС=4:5; 4) АА\=а, АВ=Ь, А\С=с.
14.		Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
15.		Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
16.		Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
17.		Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая о параллельна плоскости а (рис. 342).
18.		Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
19.		Докажите, что через две скрещивающие прямые можно провести параллельные плоскости.
20.		Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых (рис. 343). Всегда ли это возможно?
21*. Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 344).
22. Даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма (рис. 345).

Рис. 342
Рис. 343

250
10 класс

Рис. 344
Рнс. 345
23.		Плоскости а н Р параллельны плоскости у. Могут ли плоскости аир пересекаться?
24- Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая плоскость у пересекает котя бы одну из плоскостей а, р.
25.		Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
2S. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
27.		Параллелограммы ABCD и ABC\D\ лежат в разных
	плоскостях. Докажите,'что четырехугольник CDD\C\ тоже
параллелограмм (рис. 346).
28.		Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в од-

Рнс. 347

§ 16. Параллельность прямых и плоскостей
251
ной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках АI, В\, Си Du Докажите, что четырехугольник А\В\С\Ь\ тоже параллелограмм.
29.		Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А и В\, Си Докажите равенство треугольников АВС и А\В\С\.
30.		Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках Ai, Вi, Си Докажите подобие треугольников АВС и А\В\С\ (рис. 347).
31.		Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 348).

32.		Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А\ и В\. Чему равен отрезок А\В\, если АВ=а?
33*. Даны две параллельные плоскости aj и аг и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Xi иХг — точки пересечения ее с плоскостями aj и аг- Докажите, что отношение длин отрезков АХ\ :АХ2 не зависит от взятой прямой.
34*. Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная точка плоскости a, X' — точка отрезка АХ, делящая его в отношении тп: п. Докажите, что геометрическое место точек X’ есть плоскость, параллельная плоскости а.
35*. Даны три параллельные плоскости ai, ссг, аз. Пусть Х\, Х<2, Хз — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков

252
10 класс
36.
(38;
»
5
(р
.Х^ХггХгХз не зависит от прямой, т. е. одинаково для лю-
бых двух прямых.
Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если
какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах
параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная
данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого
параллелограмма.
Дана параллельная проекция треугольника. Как по-
строить проекции медиан этого треугольника?
Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобра-
зится проекция средней линии треугольника?
Может ли при параллельном проектировании паралле-
лограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра (рис. 349). Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
§ 17. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
<43. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
— Так же как и на“плоскости,“ две~прямые”называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть о и b — перпендикулярные прямые, ai и 6| — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а\ и £>i перпендикулярны.
Если прямые а, Ь, а\, Ь\ лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые о и Ь лежат в некоторой плоскости a, a прямые ai и Ъ\ — в некоторой плоскости at (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости а и at параллельны. Пусть С — точка пересечения прямых а и Ъ, а Ct — точка пересечения прямых at и Ь\. Проведем в плоскости параллельных прямых а и at прямую, параллельную прямой ССу. Она пересечет прямые а и at в точках А и А\. В плоскости прямых Ъ и by проведем пря

5 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
253

мую, параллельную прямой ССi, и обозначим через В и В\ точки ее пересечения с прямыми Ъ и Ъ\.
Четырехугольники САА\С\ и СВВ\С\ — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ\А\ также параллелограмм. У него стороны АА\, ВВ\ параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС). Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА\ и ВВ\. А она пересекает параллельные плоскости а п oci по параллельным прямым АВ и AiB).
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А\В\, AC=AiC\, BC=BiC\. По третьему признаку равенства треугольников треугольники АВС и AiBiCi равны. Итак, угол А\С\В\, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а\ и Ъ\ перпендикулярны. Теорема доказана.
jji Задача (1). Докажите, что через любую точку пря- (Ь) мой в пространстве можно провести перпендикулярную (	f ей прямую.
Решение. Пусть а — прямая и А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой о и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой а.
144. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
^Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендику-
лярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой
прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через
точку пересечения (рис. 352).

254
10 класс

^-Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лсхсащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а — прямая, перпендикулярная прямым Ь н с и плоскости а. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и с (рис. 353). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости а.
	Проведем произвольнукгпрямую л: через точку А ~в плоскости а и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости а произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые Ъ, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА\ и А А 2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА\ —АА2). По той же причине треугольник А\ВАг тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А\ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников А\ВС и АгВС следует равенство углов А\ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А\ВХ и АгВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А\Х и АгХ этих треугольников заключаем, что треугольник А\ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
255
145.		ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Задача (9). Докажите, что через данную точку пря-
мой можно провести одну и только одну перпендикуляр-
ную ей плоскость.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка
на ней (рис. 354). Проведем через нее две плоскости и
проведем в них через точку А прямые бис, перпенди-
кулярные прямой а. Плоскость а, проходящая через эти
прямые, перпендикулярна прямой а по теореме 17.2.
Докажем, что эта плоскость единственна. Допустим,
что, кроме плоскости а, существует другая плоскость а',
проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а
(рис. 355). Пусть В — точка плоскости а', не лежащая в
плоскости а. Проведем через точку В и прямую а плос-
кость. Она пересечет плоскости а и а' по различным пря-
мым Ъ и Ъ\ перпендикулярным прямой а. А это, как мы
знаем, невозможно, так как на плоскости через данную
точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей
прямая. Итак, плоскость, проходящая через точку А и
перпендикулярная прямой а, единственна.

Задача (11). Докажите, что через данную точку
плоскости можно провести одну и только одну перпен-
дикулярную ей прямую.
Решение. Пусть а — данная плоскость и А — точка
на ней (рис. 356). Проведем в плоскости а через точку А
две прямые Ъ и е. Проведем через точку А перпендику-

256
10 класс

лярные им плоскости. Они пересекутся по некоторой прямой о, перпендикулярной прямым b и с. Следовательно, прямая о перпендикулярна плоскости ос.
Докажем, что эта прямая единственна. Допустим, что, кроме прямой а, существует другая прямая о', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости а (рис. 357). Проведем через прямые а и с' плоскость. Она пересечет плоскость а по некоторой прямой Ь, перпендикулярной прямым о и с'. А это, как мы знаем, невозможно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, един- 	ственна.	
146.		СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а\ и а2 — две параллельные прямые и а — плоскость, перпендикулярная прямой a i (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и
ПРЯМОЙ 02.
Проведем через точку А2 пересечения прямой Ог с плоскостью а произвольную прямую х2 в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку Ai пересечения прямой at с а прямую *i, параллельную прямой х2. Так как прямая а\ перпендикулярна плоскости а, то прямые а\ и cci перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые ог и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости а. А это

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
257

значит, что прямая сг перпендикулярна плоскости а. Теорема
доказана.
Задача (12). Докажите, что через любую точку А
можно провести прямую, перпендикулярную данной
плоскости а.
Решение. Проведем в плоскости а две пересекаю-
щиеся прямые Ъ и с (рис. 359). Через точку их пересе-
чения проведем плоскости р и у, перпендикулярные пря-
мым Ъ и с соответственно. Они пересекаются по некото-
рой прямой о. Прямая а перпендикулярна прямым бис,
значит, и плоскости а. Проведем теперь через точку А
прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она пер-
пендикулярна плоскости а.
Теорема 17.4. Две пряные, перпендикулярные одной
и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а и Ь — две прямые, пер-
пендикулярные плоскости а (рис.
360). Допустим, что прямые а
и & не параллельны.
Выберем на прямой Ь точку С,
не лежащую в плоскости сс. Про-
ведем через точку С прямую Ь',
параллельную прямой а. Прямая Ь'
перпендикулярна плоскости а (тео-
рема 17.3). Пусть В и В' — точки
пересечения прямых Ь и Ъ' с плос-
костью а. Тогда прямая ВВ' пер-
пендикулярна пересекающимся
прямым Ъ и 6'. А это невозможно.
Мы пришли к противоречию. Тео-
рема доказана.
9 Заказ 878

258
10 класс
147.		ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 3G1 из точки А проведены к плоскости а. перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость а.

Задача (26). Докажите, что если прямая параллель-
на плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом
расстоянии от плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая и а — данная
плоскость (рис. 362). Возьмем на прямой а две произ-
вольные точки X и У. Их расстояния до плоскости а —
это длины перпендикуляров XX' и УУ', опущенных на
эту плоскость. По теореме 17.4 прямые XX' и УУ' па-
раллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта
плоскость пересекает плоскость а по прямой Х'У'. Пря-

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
259
мая а параллельна прямой X'Y', так как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четырехугольника XX'Y'Y противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит, XX'=YY'.
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.
. Точно так же, как в решении задачи 26, доказывается, что расстояние от любых двух точек плоскости до параллельной плоскости равны. В связи с этим расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
148.		ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Теорема 17.5. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а, АС — наклонная и с — прямая в плоскости а, проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую С А', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости а. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость р. Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости р, а значит, и прямой АС.
Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной С А то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости р, а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.

Рис. 363

260
Ф
10 класс
Задача (45). Через центр вписанной в треугольник
окружности проведена прямая, перпендикулярная плос-
кости треугольника. Докажите, что каждая точка этой
прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон
треугольника с окружностью, О —
центр окружности и S — точка на
перпендикуляре (рис. 364). Так
как радиус ОА перпендикулярен
стороне треугольника, то по теореме
о трех перпендикулярах отрезок SA
есть перпендикуляр к этой стороне,
а его длина — расстояние от точ-
ки S до стороны треугольника.
По теореме Пифагора SA =
=-\/AOr+OST^V^+OS2, где г —
радиус вписанной окружности.
Аналогично находим SB=
=Vr2+OS7. SC = ^Jr ' + OS\ т. е. все
расстояния от точки S до сторон
треугольника равны.

149.		ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
На рисунке 365, а вы видите две перпендикулярные плоскости а и р, пересекающиеся по прямой е. Плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает плоскости а н р по перпендикулярным прямым о и Ь.

Рис. 365

§ 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
261
Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения
перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендику-
лярным прямым.
Действительно, если взять другую плоскость у', перпен-
дикулярную прямой с, (рис. 365, б), то она пересечет плос-
кость а по прямой а', перпендикулярной с, а значит, парал-
лельной прямой а, а плоскость р по прямой Ь\ перпенди-
кулярной с и, значит, параллельной прямой Ъ. По теореме 17.1
из перпендикулярности прямых о и Ь следует перпендикуляр-
ность прямых а' и Ь', что и требовалось доказать.
Теорема 17.6. Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости пер-
пендикулярны.
Доказательство. Пусть а — плоскость, Ъ — перпен-
дикулярная ей прямая, р — плоскость, проходящая через
прямую Ъ, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости
аир (рис. 366). Докажем, что плоскости аир перпендику-
лярны.
Проведем в плоскости а через точку пересечения прямой
Ь с плоскостью а прямую а, перпендикулярную прямой с. Про-
ведем через прямые а и b плоскость у. Она перпендикулярна
прямой е, так как прямая с перпендикулярна прямым а и Ъ.
Так как прямые а и Ъ перпендикулярны, то плоскости аир
перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (54). Даны прямая о и плоскость а. Про-
ведите через прямую а плоскость, перпендикулярную
плоскости а.
Решение. Через произвольную точку прямой а про-
водим прямую Ь (рис. 367), перпендикулярную плоскости
а (задача 12). Через прямые а и 6 проводим плоскость р.
Плоскость р перпендикулярна плоскости а по теореме 17.6.
Ф

Рис. 366
Рис. 367

262
10 класс
150.		РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ
СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Общим перпендикуляром двух
скрещивающихся прямых назы-
вается отрезок с концами на этих
прямых, являющийся перпенди-
куляром к каждой из них.
Докажем, что две скрещиваю-
щиеся прямые имеют общий пер-
пендикуляр, и притом только один.
Он является общим перпендикуля-
ром параллельных плоскостей, про-
ходящих через эти прямые.
Действительно, пусть а и 6 — данные скрещивающиеся
прямые (рис. 368). Проведем через них параллельные плос-
кости а и р. Прямые, пересекающие прямую о и перпенди-
кулярные плоскости а, лежат в одной плоскости (у). Эта
плоскость пересекает плоскость р по прямой а', параллельной а.
Пусть В — точка пересечения прямых а' и Ь. Тогда прямая АВ,
перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскос-
ти р, так как р параллельна а. Отрезок АВ — общий перпен-
дикуляр плоскостей а н р, а значит, и прямых а и Ь.
Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный.
Допустим, что у прямы:: а п b есть другой общий перпенди-
куляр CD. Проведем через точку С прямую Ь', параллель-
ную Ъ. Прямая CD перпендикулярна прямой Ь, а значит, и Ь'.
Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикуляр-
на плоскости а, а значит, параллельна прямой АВ. Выхо-
дит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные,
можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать
наши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это невозможно,
что и требовалось доказать.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называет-
ся длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию
между параллельными плоскостями, проходящими через эти
прямые.

151.		ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ТЕХНИЧЕСКОМ ЧЕРЧЕНИИ
В черчении применяется ортогональное проектирование, т. е. параллельное проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции. Чертежи деталей машин получаются путем ортогонального проектирования на одну, две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости назы

S 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
263
ваются плоскостями проекций. Плоскости проекций с проекциями изображаемой детали на них совмещаются поворотом около прямых, по которым они пересекаются.
На рисунке 369 показано выполнение чертежа болта путем проектирования на две плоскости: горизонтальную Н и вертикальную V. Чертеж болта в двух проекциях показан на рисунке 370.

'Г

Рис. 370
При выполнении чертежей деталей машин пользуются различными условностями, предусмотренными стандартом. В частности, резьба условно изображается сплошной тонкой линией, а центровые и осевые — штрихпунктирными линиями. Эти условности изображения применены на чертеже болта (рис. 370).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?	»	• '
2.		Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.

264
10 класс
г' 1
:	L-, - ' - > ^
3.		Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
4.		Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5.		Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
6.		Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
7.		Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки
на плоскость?	'
8.		Что называется расстоянием от точки до плоскости?
9.		Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?
10.		Докажите теорему о трех перпендикулярах.
11.		Какие плоскости называются перпендикулярными?
12.		Докажите признак перпендикулярности плоскостей.
13.		Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
14.		Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
15.		Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

ЗАДАЧИ
1.		Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
2.		Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
3.		Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны (рис. 371). Найдите отрезок CD, если: 1) АВ=3 см, ВС= = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD=9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см; 3) AB=b, ВС=а, AD=d; 4) BD=c, ВС=а, AD = d.
4*. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника A\B\C\D\ соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
5.		Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.
6.		Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника (рис. 372).

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
265

7.		Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК.
8.		Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС=Ь, AD = c.
9.		Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
10.		Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость р и прямая Ъ. Докажите, что прямая Ъ лежит в плоскости р.
11.		Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
12.		Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а.
13.		Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ.
14.		Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости а, пересекающие ее в точках С и В соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС=3 м, BD = 2 м, CD=2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость а.
15.		Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной.

266
10 класс
Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.
16.		Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили -на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
17.		Точка А находится на расстоянии о от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
18.		Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
19.		Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.
20*. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
21.		Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь.
22.		Найдите геометрическое место оснований -наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
23.		Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см н 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
24.		Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
25.		Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
26.		Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
27.		Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
28.		Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции дна-

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
267
гоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.
29.		Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ (рис. 373). Чему равно расстояние CD, если АВ=а, АС=Ъ, BD=c?
30.		Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
31.		Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины Ъ своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
32.		Два отрезка длин а и 6 упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины о) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
33.		Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7?
34.		Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
35.		Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
36.		Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А я В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) о и Ъ.
37*. Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок АВ пересекает плоскость.
38.		Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
39*. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как тп'.п (рис. 374).

Рис. 373
Рис. 374
Рис. 375

268
10 класс
40.		Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
41.		Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и Ь (а<.Ь). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 375).
42.		Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, Ь, с (о < с, Ь < с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
43.		Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
44.		Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
45.		Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равно-
е
 удалена от сторон треугольника.
К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
47. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
48.		Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = = 13 см, ВС = 6 см.
49.		Через конец А отрезка АВ длины Ъ проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а.
50.		Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
51*. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние о, а от его сторон

§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
269
на расстояние Ъ. Найдите расстояние от точки М до плос-
кости угла.
52*. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и бо-
ковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восстав-
лен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м.
Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до
сторон треугольника.
53.		Из вершины прямого угла С треугольника АВС восстав-
лен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найди-
те расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если
АВ=а, BC=b, CD = c.
54.		Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а
плоскость, перпендикулярную плоскости а.
55.		Даны прямая о и плоскость а. Докажите, что все пря-
мые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие пря-
мую о, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плос-
кости а.
56.		Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС
восставлены перпендикуляры АА\ и ВВ\ к плоскости
треугольника. Найдите расстояние от вершины С до сере-
дины отрезка AiBi, если АВ = 2 м, CA\ = Z м, СВ\=7 м
и отрезок А\В\ не пересекает плоскость треугольника.
57.		Из вершин А и В острых углов прямоугольного тре-
угольника АВС восставлены перпендикуляры АА\ и ВВ\
к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вер-
шины С до середины отрезка А\В\, если А\С=4 м, А\А =
= 3 м, В\С = 6 м, В\В = 2 м и отрезок А\В\ не пересека-
ет плоскость треугольника.
. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
59.		Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: 1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD=6 м; 2) АС=3 м, BD = 4. м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, ВС = 7 м, CD = 1 м; 4) AD=BC = 5 м, CD = 1 м; 5) АС = а, BD=b, CD = c\ 6) AD = a, BC = b, CD = c.
60.		Точка находится на расстояниях а и Ь от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 376).
61.		Плоскости аир перпендикулярны. В плоскости а взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости р проведена прямая Ь, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ь.

270
10 класс

62.		Перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая о||с, в плоскости Р — прямая Ь\\с. Найдите расстояние между прямыми а и Ь, если расстояние между прямыми о и с равно 1,5 ы, а между прямыми b и с — 0,8 м (рис. 377).
ПГ1» * ОТЛПМ МЛЛППР'(1.1»Т!.1 ^umriwubi iiwwr^riiiMlUi
И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
152.		ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые я, у, 2, пересекающиеся в одной точке О (рис. 378). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и у, называется плоскостью ху. Две другие плоскости называются соответственно хг и yz. Прямые х, у, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения О — началом координат, а плоскости ху, yz и xz — координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые — полуоси, которые мы условимся называть положительной и отрицательной.
Возьмем теперь произвольную точку А и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (рис. 379). Она пересекает ось х в некоторой точке Ах. Координатой х точки А будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАхх положительное, если точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка Ах совпадает с точкой О, то по-

§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
271
лагаем х = 0. Аналогично определяются координаты у и г точки А. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А {х\ у; г). Иногда будем обозначать точку просто ее координатами (я; у; z).

Рис. 378	Рис. 379
Задача (2). Даны точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2),
С (0; 0; 3), В(1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в
плоскости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости yzl
Р е ш е н и е. У точек плоскости ху координата z равна
нулю. Поэтому только точка D лежит в плоскости ху.
У точек плоскости yz координата х равна нулю. Следо-
вательно, точки В и С лежат в плоскости yz. У точек
на оси z две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому
только точка С лежит на оси г.
153.		РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Выразим расстояние между дву-
мя точками A t (хг, у г, Z\) и
А2 (*2*, у?; гг) через координаты этих
точек.
Рассмотрим сначала случай,
когда прямая А|А2 не параллельна
оси z (рис. 380). Проведем через
точки Л| и Аг прямые, параллель-
ные оси 2. Они пересекут плос-
кость ху в точках А\ и А2. Эти
точки имеют те же координаты х, у,

272
10 класс
что и точки At, А 2, а координата г у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку А2, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую А\А\ в некоторой точке С. По теореме Пифагора
АIАI=А1 С2 -f-С А 2.
Отрезки СА2 и А\А2 равны, а
А [ А г = (х2 — л 1 )Ч* (У2 — У i )2.
Длина отрезка А\С равна |z\—Z2I. Поэтому
AtAl = (x2 — Xtf+{У 2 — У О2+(гг — Ztf.
Если отрезок А\А2 параллелен оси z, то A\A2=\zt—22I. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае xt = x2, yt = y2.
Таким образом, расстояние между точками At и Л2 вычисляется по формуле
AtA2=-^(x2—xt)2 + (y2—yi)2 + (z2—zt)2.

Задача (5). В плоскости ху найти точку D (х; у, 0),
равноудаленную от трех точек: Л (0; 1; —1), В( — 1; 0; 1),
С (0; -1; 0).
Решение. Имеем:
AD2=(х — О)2+(у~ If+(0 ■+1)2, BD2 = (х +1)2 +(у - О)2+(0 -1)2, CD2 = (х- О)2 + (у +1)2+(0 - О)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х п у:
— 4г/ +1 = 0, 2х-2у + 1 = 0.
Отсюда у = -^-,х= —jj-. Искомая точка D[ —j-; -j-; 0) .
154.		КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Пусть А\{х\\ уi; z 1) и А2{х2\ Уг\ z2) — две произвольные точки. Выразим координаты X, у, z середины С отрезка AtA2 через координаты его концов At 11А2 (рис. 381). Для этого проведем через точки At, А2 и С прямые, параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху в точках А\ [х\\ yt\ 0), А2 (х2\ у2\ 0) и С (х; у; 0). По теореме Фалеса точка С' является серединой отрезка ^4.1^4.2. А мы знаем, что на плоскости ху координаты сере

§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
273
дины отрезка выражаются через
координаты его концов по фор-
мулам
	*1+*2		У1+У2
x-—g—t у —
Для того чтобы найти выражение
для z, достаточно вместо плоскости
ху взять плоскость xz или уг. При
этом для z получается аналогич-
ная формула:
	2,+г2
Z~~ ’

Рис. 381

Задача (9). Докажите, что четырехугольник ABCD
с вершинами в точках А (1; 3; 2), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4),
D(2; 2; 2) является параллелограммом.
Решение. Как мы знаем, четырехугольник, у кото-
рого диагонали пересекаются и точкой пересечения делят-
ся пополам, есть параллелограмм. Воспользуемся этим для
решения задачи. Координатами середины отрезка АС
будут
1+1
1, У=Ц*-= 2.
2 + 4
3.
Координатами середины отрезка BD будут
*=-2±*-=1.	У=Ц^=2, z=±tL= 3.
Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD одинаковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм.
155.		ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Так же, как и на плоскости, определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой.

274
10 класс
Кроме симметрий относительно
точки и прямой в пространстве,
рассматривают преобразование сим-
метрии относительно плоскости.
Это преобразование состоит в сле-
дующем (рис. 382). Пусть а —
произвольная фиксированная плос-
кость. Из точки X фигуры опускаем
перпендикуляр ХА на плоскость а
и на его продолжении за точку А
откладываем отрезок АХ', равный
ХА. Точка X' называется симмет-
ричной точке X относительно плос-
кости а, а преобразование, которое переводит точку X в сим-
метричную ей точку X', называется преобразованием симмет-
рии относительно плоскости а.
Если точка X лежит в плоскости а, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости а. переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Задача (17). Даны точки (1; 2; 3), (0; —1; 2), (1; 0;
— 3). Найдите точки, симметричные данным относительно
координатных плоскостей.
Решение. Точка, симметричная точке (1; 2; 3) от-
носительно плоскости ху, лежит на прямой, перпенди-
кулярной плоскости ху. Поэтому у нее те же координаты х
иу:х = 1,у — 2. Симметричная точка находится на том же
расстоянии от плоскости ху, но по другую сторону от нее.
Поэтому координата z у нее отличается только знаком, т. е.
г=—3. Итак, точкой, симметричной точке (1; 2; 3) от-
носительно плоскости ху, будет (1; 2; —3). Для других
точек и других координатных плоскостей решение анало-
гично.
156.		СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И НА ПРАКТИКЕ
Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел (рис. 383).
Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике (рис. 384).

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
275
Рис. 383

276
10 класс

Рис. 384

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
277
157.		ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Движение в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками.
Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости.
Докажем это свойство. Пусть а — произвольная плоскость (рис. 385). Отметим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. При движении они перейдут в три точки А', В', С', также не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость а'.
Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость а переходит в плоскость а'.

Пусть X — произвольная точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь прямую о в плоскости а, пересекающую треугольник АВС в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а'. Точки У и Z прямой а перейдут в точки У' и Z', принадлежащие треугольнику А'В'С', а значит, плоскости а'.
Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка X при движении переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости а\ что и требовалось доказать.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.

278
10 класс
158.		ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В ПРОСТРАНСТВЕ
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х+о; у+Ь; 2 +с), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х; у; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами
х' = х+а, у' = у + Ъ, z' = z + c,
выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка (х; у\ z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:
1.		Параллельный перенос есть движение.
2.		При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3.		При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
4.		Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'.
ys Задача (23). Найдите значения а, Ь, с в формулах /б ) параллельного переноса х' — х-\-а, у' = у-\-Ъ, z'=z-\-c, ес- < f ли при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А'(2; 1; 0).
Решенн е. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х=1, у — 0, z = 2, х' = 2, у'=1, z' = 0, получим уравнения, из которых определяются а, Ь, с:
2 = 1-{-а, 1 = 0 + &, 0 = 2 + с.
Отсюда о = 1, Ь = 1, с= — 2.
Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:
5.		При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Рио. 386

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
279
Действительно, пусть а — произвольная плоскость
(рис. 386). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся пря-
мые а и Ъ. При параллельном переносе прямые а и Ъ переходят
либо в себя, либо в параллельные прямые а' и 6'. Плоскость
а переходит в некоторую плоскость а', проходящую через пря-
мые о' и Ь'. Если плоскость а' не совпадает с а, то по теореме
16.4		она параллельна а, что и требовалось доказать.
159.		ПОДОБИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
Преобразование подобия в пространстве определяется так
же, как и на плоскости. А именно: преобразование фигуры F на-
зывается преобразованием подобия, если при этом преобразова-
нии расстояния между точками изменяются в одно и то же чис-
ло раз, т. е. для любых двух точек Хк Y фигуры F и точек X', Y'
фигуры F', в которые они переходят, X'Y' = h-XY.
Так Hie, как и на плоскости, преобразование подобия в
пространстве переводит прямые в прямые, полупрямые в полу-
прямые, отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупря-
мыми. Такими же рассуждениями, как в п. 157, доказывается,
что преобразование подобия переводит плоскости в плоскости.
Так же, как и на плоскости, две фигуры называются подобными,
если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Простейшим преобразованием подобия в пространстве явля-
ется гомотетия. Так же, как и на плоскости, гомотетия от-
носительно центра О с коэффициентом гомотетии k — это
преобразование, которое переводит произвольную точку X в точ-
ку X' луча ОХ, такую, что ОХ' = k • ОХ.
Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую
плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллель-
ную плоскость (или в себя при k=l).
Действительно, пусть О — центр
гомотетии и а — любая плоскость,
не проходящая через .точку О
(рис. 387). Возьмем любую прямую
АВ в плоскости а. Преобразование
гомотетии переводит точку А в
точку А' на луче ОА, а точку В
в точку В' на луче ОВ, причем
гДе ft —коэффи-
циент гомотетии. Отсюда следует
подобие треугольников АОВ и
А'ОВ'. Из подобия треугольников
следует равенство соответственных
углов ОАВ и ОА'В', а значит, па-
раллельность прямых АВ и А'В'.

Рис. 387

280
10 класс
Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости а. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А'С. При рассматриваемой гомотетии плоскость а перейдет в плоскость а', проходящую через прямые А 'В', А'С. Так как А'В'\\АВ и А'С |]АС, то по теореме 16.4 плоскости а и а' параллельны, что и требовалось доказать.
160.		УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90° по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.
Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Докажем это.
Пусть а\ и Ь| — пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым а и Ъ (рис. 388). Пусть с2 и Ь‘2 — другие прямые, параллельные данным и пересекающиеся в точке В. По теореме 16.2 прямые a i и а2 параллельны (или совпадают) н прямые Ь\ и Ь2 параллельны (или совпадают).
Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то указанный параллельный перенос переводит прямую Oi

Рис. 388
Рис. 389

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
281
Ф
в прямую Сг, а прямую Ъ\ в прямую Ьч. Так как параллельный
перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми а\
и Ъ\ равен углу между прямыми ач и Ьч. А это и требовалось
доказать.
По данному ранее определению перпендикулярными назы-
ваются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Однако
иногда скрещивающиеся прямые тоже называются перпенди-
кулярными, если угол между ними равен 90°.
Задача (33). Докажите, что любая прямая на плос-
кости, перпендикулярная проекции наклонной на эту
плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если
прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции наклонной.
Решение. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскос-
ти а, АС — наклонная и с — прямая в плоскости сс, пер-
пендикулярная ВС (рис. 389). Проведем через основание
С наклонной прямую С|||с.
По теореме о трех перпендикулярах с\ перпендику-
лярна наклонной АС. А так как угол между прямой с и на-
клонной АС равен углу между прямыми АС и С|, то пря-
мая с тоже перпендикулярна наклонной АС.
Обратно: если прямая с перпендикулярна наклонной
АС, то прямая С\ тоже перпендикулярна ей, а значит, по
теореме о трех перпендикулярах и ее проекции ВС. Так
как c||ci, то cJ.BC.
161. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью
Определим понятие угла между прямой и плоскостью.
Пусть а. — плоскость и а — пересекающая ее прямая, не
перпендикулярная плоскости а (рис. 390). Основания перпен-
дикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат
на прямой а'. Эта прямая называется проекцией прямой а на
плоскость а. Углом между прямой и плоскостью называется
угол между этой прямой и ее про-
екцией на плоскость.
Если прямая перпендикулярна
плоскости, то угол считается рав-
ным 90°. Если параллельна, то 0°.
Так как прямая а, ее проекция а' на
плоскость ос и перпендикуляр к
плоскости а в точке ее пересечения
с прямой а лёжат в одной плоскос-
ти, то угол между прямой и плос-
костью дополняет до 90° угол меж-
ду этой прямой и перпендикуляром
к плоскости.

282
10 класс
Ф
Задача (35). Точка А отстоит от плоскости на рас-
стояние Л. Найдите длины наклонных, проведенных из
этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°;
2) 45*; 3) 60°.
Решение. Опустим перпен-
дикуляр АА' на плоскость (рис.
391). Треугольник АА'В прямоу-
гольный с прямым углом при вер-
шине А'. Острый угол этого тре-
угольника, противолежащий кате-
ту АА', равен 30° (соответственно
45°, 60°). Поэтому в первом случае

наклонная
АВ = - — ' sin 30°
= 2Л. Во вто-
ром случае AB=h^/2, в третьем
2 h
УЗ •
АВ=^г
162.		УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой нх пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными, плоскостями (рис. 392).
Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это.
Пусть аир — данные плоскости, пересекающиеся по прямой с. Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по прямым о и Ъ. Угол между плоскостями аир равен углу между прямыми а и Ъ.
Возьмем другую секущую плоскость у', перпендикулярную прямой с. Пусть а' и Ь' — прямые пересечения этой плоскости с плоскостями а и р.
Выполним параллельный перенос, при котором точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку пересечения плоскости у' с прямой с. При этом по свойству параллельного переноса прямая а переходит в прямую а', а прямая Ь — в прямую Ь'.
Это значит, что углы между прямыми а и Ь, а' и Ъ' равны, что и требовалось доказать.

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
283

Задача (43). Две плоскости пересекаются под уг-
лом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей,
отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите
расстояние от этой точки до прямой пересечения плос-
костей.
Решение. Пусть аир — данные плоскости и А —
точка, лежащая в плоскости а (рис. 393). Опустим пер-
пендикуляр А А' на плоскость р и перпендикуляр АВ на
прямую с, по которой пересекаются плоскости. По теоре-
ме о трех перпендикулярах A'BJ-C. Плоскость треуголь-
ника АВА’ перпендикулярна прямой с и потому угол при
вершине В прямоугольного треугольника АВА' равен 30°.
Имеем:
АВ=
АА'
sin 30°

Расстояние от точки А до прямой с равно 2а.
163.		ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА
Теорема 18.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 394). Проекцией треугольника АВС является треу

284
10 класс
гольник АВС 1 в плоскости сс. Проведем высоту CD треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C\D — высота треугольника АВС\. Угол CDC\ равен углу <р между плоскостью треугольника АВС и плоскостью проекции а. Имеем:
CiD = CDcos<p,
sAB0=\ab-cd, sabc=\ab-cv.
Отсюда
•5л ВС I = С АВС с03 ф*
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна. Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость. Действительно, при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направлении проектирования. А совмещаемые параллельным переносом фигуры равны.
С

Рассмотрим теперь общий случай. Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано для четырехугольника ABCD на рисунке 395.
Теперь для каждого треугольника Д нашего разбиения и его проекции А' запишем равенство Sy=SA cos q>. Сложим все эти равенства почленно. Тогда получим слева площадь проекции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на cos <р. Теорема доказана.

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
285
164.		ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется
направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости,
определяются основные понятия для векторов в пространстве:
абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство
векторов.
Координатами вектора с началом в точке А\ (х\; у\’, гi) и кон-
цом в точке Аг (л:2; i/2; z2) называются числа Х2 — Х\, У2~У\,
22 — z\. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные
векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно,
векторы с соответственно равными координатами равны. Это
дает основание для обозначения вектора его координатами:
o(ai*, a2; a3) или просто (oi; а2; a3).
Задача (50). Даны четыре точки А(2; 7; —3), В (1; 0;
3)	, С( —3; —4; 5), D( — 2; 3; —1). Укажите среди век-
торов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
Решение. Надо найти координаты указанных век-
Ф
торов АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора АВ координаты: 1 — 2 = — 1, 0—7 = = — 7, 3 —( —3) = 6. У вектора DC такие же координаты: — 3 —( —2) = — 1, —4 — 3— —7, 5—(—1)=6. Таким образом, векторы АВ и DC равны. Другой парой равных векторов будут ВС и AD.
165.		ДЕЙСТВИЯ над векторами в пространстве
Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, умножение на число и скалярное произведение.
Суммой векторов а (аг, а2; а3) и Ъ (Ь\; Ь2; Ь3) называется вектор c(ai + 6i; a2-f b2; a3 + b3).
Так же, как и на плоскости, доказывается векторное равенство
АВ+ВС=АС.
Произведением вектора a(ai; a2; a3) на число X называется вектор Ха=(Ха\; Ха2; Ха3).
Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора Ха равна |Я| |а|, а направление совпадает с направлением вектора а, если Х> 0, и противоположно направлению вектора а, если А.<0.

286
10 класс

Задача (54). Дан вектор о (1; 2; 3). Найдите кол ли-
неарный ему вектор с началом в точке А( 1; 1; 1) и концом
В на плоскости ху.
Решение. Координата г точки В равна нулю. Коор-
динаты вектора АВ% х — 1, у — 1, 0 — 1 = —1. Из коллине-
арности векторов а и АВ получаем пропорцию
х-1
у-1
-1
Отсюда находим координаты х, у точки В:
Х=Т> У=Т*
Скалярным произведением векторов (at; 02; аз) и (2м; Ь2) Ъз) называется число aibi -ЬагЬг + ЯзЬз- Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.
л Задача (59). Даны четыре точки А (0; 1; — 1), В(1; —1; 2), С (3; 1; 0), D (2; —3; 1). Найдите косинус
^	f угла ср между векторами АВ и CD. 	
Решение. Координатами вектора АВ будут
1 — 0 = 1, — 1 — 1 = — 2, 2 — (_ 1) = 3;
I АВ\ =У1г + (-2)‘ + 3!£=Л/14.
Координатами вектора CD будут
2 — 3= —1, —3 —1 = -4, 1 — 0 = 1;
\CD\ =V(-l)a+(-4)!l + l*=Vi8.
Значит,
АВ-CD 1-(-1)+( — 2)(-4)-гЗ-1	5
COS ф=-=—=-=	;=—р=—	= ~7= •
\АВ\ \CD\	УП.Л/18	л/63
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ с
1.		Оиi.iiiv OiipO^C.iJuOiC.i i.uOp^ttliu 11 ч .ОМ... В BpG0.~
ранстве.
2.		Выразите расстояние между двумя точками через координаты этих точек.
3.		Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
287
4.		Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной?
5.		Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры?
6.		Какое преобразование фигуры называется движением?
7.		Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.
8.		Какие фигуры в пространстве называются равными?
9.		Дайте определение параллельного переноса.
10.		Перечислите свойства параллельного переноса.
11.		Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость.
12.		Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства.
13.		Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя).
14.		Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми.
15.		Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
16.		Дайте определение угла между плоскостями.
17.		Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.
18.		Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными?
19.		Дайте определение координат вектора с началом в точке А\{х\\ у г, г\) и концом в точке А2 (х?; у2; г2).
20.		Дайте определение действий над векторами: сложения, умножения на число, скалярного произведения.

ЗАДАЧИ
1.		Где лежат те точки пространства, для которых координаты хну равны нулю?
2.		Даны точки А (1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0; 3), D(l; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости yzl
3.		Дана точка А (1; 2; 3). Найдите основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
4.		Найдите расстояния от точки (1; 2; —3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

288
JO класс
5.		В плоскости ху найдите точку D (х; у; 0), равноудаленную от трех данных точек: А(0; 1; —1), В( —1; 0; 1), С(0; -1; 0).
6.		Найдите точки, равноотстоящие от точек (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
7.		На оси х найдите точку С (х; 0; 0), равноудаленную от двух точек .4.(1; 2; 3), В (—2; 1; 3).
8.		Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А{ 1; 2; 3) и начала координат.
9.		Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (1; 2; 3), В(0; 2; 4), С( 1; 1; 4), В (2; 2; 2) является параллелограммом.
10.		Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1) А (0; 2; —3), В ( — 1; 1; 1), С (2; —2;
—		1), В(3; -1; -5); 2) А (2; 1; 3), В(1; 0; 7), С (-2; 1; 5), В(—1; 2; 1).
11.		Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), D (2; 8; 4); 2) А (0; 2; 0), В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), В(1; 2; 2).
12.		Даны один конец отрезка А{2\ 3; —1) и его середина С( 1; 1; 1). Найдите второй конец отрезка В(х; у, г).
13.		Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других его вершин известны: 1) А (2; 3; 2),В(0; 2; 4), С (4; 1; 0); 2)А(1; -1; 0),В(0; 1;
—		1),С ( — 1; 0; 1); 3) А (4; 2; -1),В(1; -3; 2),С(-4; 2; 1).
14.		Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; — Ь) и В ( — а; d; Ь) лежит на оси у.
15.		Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (а; Ь; с) и D (р; q\ — с) лежит в плоскости ху.
16.		Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у’ — у, г’ = —z.
17.		Даны точки (1; 2; 3), (0; —1; 2), (1; 0; —3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
18.		Даны точки (1; 2; 3), (0; —1; 2), (1; 0; —3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
19.		Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
20*. Докалситс, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
21.		Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
22.		Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.

$ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
289
23.		Найдите значения а, Ъ, с в формулах параллельного переноса х'=х+а, у'=у + Ь, г'=г+с, если при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0).
24.		При параллельном переносе точка А (2; 1; —1) переходит в точку А' (1; —1; 0). В какую точку переходит начало координат?
25.		Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В,' а точка С — в точку D, если:
1)		А (2;	1; О),	В (1;	0; 1),	С (3;	-2; 1),	D (2;	-3; 0);
; 2) А(-2;3;5),В 1;	2; 4),	С (4;	-3;	6),	D(7;	-2; 5);
3)		А(0;	1; 2),	В(-1; 0; 1),	С(3;	-2;	2),	В(2;	-3; 1);
4)		А (1;	1; 0),	В(0;	0; 0),	С (-2; 2;	1),	D(l;	1; 1)?
26.		Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.
27.		Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A\B\C\D\ соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A\B\C\D\ совмещаются параллельным переносом.
28.		Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.
29.		Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А|, В\, Сь Докажите, что треугольники АВС и AiBiCi гомотетичны.
30.		Прямая о лежит в плоскости ос, а прямая Ъ перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми о и Ь?
31*. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми С А и СВ, если эти прямые образуют углы ос и 0 с прямой АВ и ос + р<90°?
32.		Прямые а, Ъ, с параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми Ъ и с, если углы этих пря- ; мых с прямой а равны 60° и 80°?
33; Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
34; 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
2)		Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
35. Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
10 Заказ 878

290
10 класс
36.		Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
37.		Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся -на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
38.		Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных (рис. 396).
39.		Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние о, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
40.		Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
41.		Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
42.		Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
43.		Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
44.		Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
45.		Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основа

Рис. 396

§ 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
291
ние равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
46.		Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cos а, если:
1)	 АВ=24 см, АС = 13 см, AD=37 см, CD = 35 см;
2)	 АВ = 32 м, АС = 65 м, AD = 20 м, CD=63 м.
47.		Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
48.		Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный:
1)		30°; 2) 45°; 3) 60*.
49.		1) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD.
2)		Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС.
50.		Даны четыре точки А (2; 7; —3), В (1; 0; 3), С (—3; —4; 5), D ( —2; 3; — 1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
. 51. Даны три точки А( 1; 0; 1), В(—1; 1; 2), С (0; 2; —1). Найдите точку D (х; у; г), если векторы АВ и CD равны.
52.		Найдите точку D в задаче 51, если сумма векторов АВ и
CD равна нулю.	 	
53.		Даны векторы (2; п; 3) и (3; 2; тп). При каких тип эти векторы коллинеарны?
54.		Дан вектор о(1; 2; 3). Найдите кол линеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом В на плоскости ху.
55.		При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
1)		а(2; —1; 3),_Ь (1; 3; л); 2) а (л; —2; 1), Ъ (n; —n; 1);
3)		а (л; —2; 1), Ь(п; 2л; 4); 4) а (4; 2л; —1), Ь(—1; 1; л)?
56.		Даны три точки А (1; 0; 1), В ( — 1; 1; 2), С (0; 2; —1). Най
дите на оси г такую точку D (0; 0; с), чтобы векторы АВ и CD были перпендикулярны.	_
57*. Векторы а и 6 образуют угол 60°, а вектор с им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + 6+ + с* _ _ _
58*. Векторы а, Ь, с единичной длины образуют попарно углы 60*4 Найдите угол <р между векторами: 1) а и Ь+с;
2)		о и Ъ—с.

292
10 класс
59.		Даны четыре точки А (0; 1; — 1), В(1; —1; 2), С(3; 1; 0), D (2; —3; 1). Найдите косинус угла <р между векторами АВ и CD.
60.		Даны три точки А (0; 1; — 1), В(1; —1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
61*. Докажите, что угол <р между прямыми, содержащими векторы а и Ъ, определяется из уравнения \аЪ\ = Iа 1 |Ь| cos <р.
62*. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла <р между векторами ВС и BD, если угол ABD равен а, а угол АВС равен р (рис. 397).
D

63.		Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол ср между этой прямой и наклонной.
64*. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол ф между проекциями наклонных, если угол между наклонными р.

11 класс
§ 19. МНОГОГРАННИКИ
166.		двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная дву-
мя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой
(рис. 398). Полуплоскости называются гранями, а ограничиваю-
щая их прямая — ребром двугранного угла.
Плоскость, перпендикулярная
ребру двугранного угла, пересекает
его грани по двум полупрямым.
Угол, образованный этими полу-
прямыми, называется линейным
углом двугранного угла.
За меру двугранного угла при-
нимается мера соответствующего
ему линейного угла. Все линейные
углы двугранного угла совмеща-
ются параллельным переносом,
а значит, равны. Поэтому мера
двугранного угла не зависит от вы-
бора линейного угла.	Рис. 398
Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях
двугранного угла, опущены перпендикуляры AAi и ВВ\
на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если
AAi =а, BBt = b, AiBi=c и двугранный угол равен а
(рис. 399).
Решение. Проведем прямые А\С^ВВ\ и ВС\\А\В\.
Четырехугольник А\В\ВС — параллелограмм, значит
А\С=ВВ\ = Ъ. Прямая А\В\ перпендикулярна плоскости

294
11 класс

Рис. 399
треугольника AAiC, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости AAi и СА\. Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов
AC2=AA2i-\-AiC2—2AAi-AiC-cos а=о2+ 62— 2ab cos а. По теореме Пифагора
167.		ТРЕХГРАННЫЙ И МНОГОГРАННЫЙ УГЛЫ
Рассмотрим три луча а, 6, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (аЪ), (6с) и (ас) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
АВ=л1АС2-\-ВС2=л}а2-\-Ь2 — 2ab cos а + с2.
S

N
4
Рис. 400
Рис. 401

§ 19. Многогранники
295
Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 401).

Задача (2). У трехгранного угла (аЪс) двугранный
угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре Ь ра-
вен ф, а плоский угол (6с) равен	• Найдите
два других плоских угла: a=Z.(o6), p=Z.(ac).

Решение. Опустим из произвольной точки А ребра о перпендикуляр АВ на ребро 6 и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 402). По теореме о трех перпендикулярах СВ — перпендикуляр к ребру 6.
Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем:
tg a=АВ:ОВ~-
вс
вс
tgy
соз ф
tg V
ВС
СОЗ ф
tg р=АС:ОС=ВС tg (р:——— tg ср sin у
sin v
Замечание. Полученные зависимости между углами а, р, у. <р:
tga==^7’ teP^g'PstoY —
позволяют, зная два угла, найти два других.

296
11 класс
168.		МНОГОГРАННИК
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 403). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 404). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов:
АВ, ВС, BE	Вершинами куба являются вершины квадратов:
А, В, С, D, Е, 	 У куба шесть граней, двенадцать ребер и
восемь вершин.
Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

Рис. 403
Рис. 404

S 19. Многогранники
297
169.		ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 405). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы.
Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.
Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Призма называется п-угольной, если ее основания — п-угольники.
Рис. 405

298
11 класс
В дальнейшем ыы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками.
На рисунке 405 изображена пятиугольная призма. У -нее основаниями ЯВЛЯЮТСЯ ПЯТИУГОЛЬНИКИ А\А2...А5,	А[А'2...А'ь.
XX' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы — отрезки AiA'i, А2А2, ..., А$А'Ь. Боковые грани призмы — параллелограммы A1A2A2AU А2А3А3А2, ....
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 406). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 407).
На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований приз-
170.		ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИЗМЫ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ СЕЧЕНИЙ

Рис. 406
Рис. 407

§ 19. Многогранники
299

мы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 408).
Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 408, а).
Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 408, б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.
Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д.

300
11 класс

На рисунке 409 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.
171.		ПРЯМАЯ ПРИЗМА
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.
У прямой призмы боковые грани являются прямоуголь- хшками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 410).
Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы,

§ 19. Многогранники
301
а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
S==ail -\-a2l ~f-...	=pi^
где а\,.... ап — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.

Задача (22). В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все
боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, ес-
ли периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I.
Решен и е. Плоскость проведенного сечения разбива-
ет призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них
параллельному переносу, совмещающему основания
призмы. При этом получим прямую призму, у которой
основанием служит сечение исходной призмы, а боковые
ребра равны I. Эта призма имеет ту же боковую поверх-
ность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность
исходной призмы равна pi.
172.		ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
На рисунке 412, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 412, б — прямой параллелепипед.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

302
11 класс

7		7	
/		7	
а)
<0
Рис. 412
Теорема 19.2. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А2А1 и ■AjA.4A.iA3 (рис. 413). Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то прямая А|А2 параллельна прямой А4А3, а прямая А|А{ параллельна прямой А4А4. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых гранен параллельны.
Кз того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки AiA4) А(А4> А2Аз и А2А3 — параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань AiA2A2A( совмещается параллельным переносом вдоль ребра А\А\ с гранью AzAiAiAz. Значит, эти грани равны.
Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

Рис. 413

§ 19. Многогранники
303
173.		ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Теорема 19.3. Диагонали паралле-
лепипеда пересекаются в одной точке и точ-
кой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим ка-
кие-нибудь две диагонали параллелепи-
педа, например А\А'з и А4А5 (рис. 414).
Так как четырехугольники А1А2А3А4 и
А2А2А3А3 — параллелограммы с общей
стороной А2А3, то их стороны А\А\ и А2А3
параллельны друг другу, а значит, лежат	л
в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней	Рис. 414
параллелепипеда по параллельным прямым А|А$ и А4А3. Следовательно, четырехугольник А «А i А £Аз— параллелограмм. Диагонали параллелепипеда А1А3 и А4А2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам.
Аналогично доказывается, что диагонали А1А3 и А2А4, а также диагонали А1А3 и АзА[ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Из теоремы 19.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

174.		ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

304
11 класс
O'
с'
Доказательство. Рас-
смотрим прямоугольный паралле-
лепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 415).
Из прямоугольного треугольника
АС'С по теореме Пифагора по-
лучаем:
АС,2=АС2 + СС'2.
Из прямоугольного треугольника
АСВ по теореме Пифагора полу-
чаем АС2 = АВ2+ВС2. Отсюда
АС'2 = СС'2+АВ2 + ВС2.
Ребра АВ, ВС и СС не параллель-
ны, а следовательно, их длины
являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема
доказана.

175.		СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 416 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точками.
Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных.
Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке 417.
с	в

Рис. 416
Рис. 417

§19. Многогранники
305
Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у него плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии.
176.		ПИРАМИДА
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 418).
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань ■— треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной — сторона основания пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называется п-угольной, если ее основанием является л-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
У пирамиды, изображенной на рисунке 418, основание — многоугольник A\Ai...An, вершина пирамиды — S, боковые ребра — SA|, БАг,.... SAn, боковые грани — ASA\Ai, ASA2A3,....
В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.
'■ 5

'3
Рис. 418
■4i

306
11 класс
177.		ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ И ЕЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЯ
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 418 показано изображение пятиугольной пирамиды.
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 419). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседиих боковых ребра пирамиды (рис. 420).
Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.
Если на грани, не параллельной следу g, известна какая- нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке 421. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Рис. 419
Рис. 420

f 19. Многогранники
307

На рисунке 422 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.
178.		УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Теорема 19.5. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Доказат е л ь с т в о. Пусть S — вершина пирамиды, А — вершина основания и А' — точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 423). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А', т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида — в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.
По теореме 19.5 плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 424). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются

308
11 класс
s

боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции.
Задача (54). Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с
12	3
коэффициентами подобия —, — и —. Площади подобных
фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к площади основания
пирамиды есть (-j-) ’("f") 11 ("i”) • Следовательно, площа
ди сечении равны
400 .(-J-)2 = 25 (см2),
2 2
400*(т) =10° (сы2)’ 400‘(т) =
= 225 (см2).
179.		ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

§ 19. Многогранники
309
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Теорема 19.6. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Если сторона основания а, число сторон п, то боковая поверхность пирамиды равна
at 	ant	pi
ТП~ 2 ~ 2 ’
где I — апофема, а р — периметр основания пирамида. Теорема доказана.
Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Задача (69). Докажите, что боковая поверхность пра-
вильной усеченной пирамиды равна произведению полу-
суммы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые грани усеченной пирамиды —
трапеции с одним и тем же верхним основанием а, ниж-
ним Ь и высотой (апофемой) I. Поэтому площадь одной
грани равна (а + Ь)1. Площадь всех граней, т. е. боковая
поверхность, равна -j- (ап + Ъп)1, где п — число вершин у
основания пирамиды, ап и Ьп — периметры оснований пирамиды.
180.		ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 425): правильный тетраэдр, куб. октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.
У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится

310
11 класс

Рис. 425
по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.
У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Задача (81). Найдите двугранные углы правильного
тетраэдра.
Решение. Проведем из вершины S тетраэдра высоты
SA, SB, SC его граней, сходящихся в этой вершине, и
высоту SO тетраэдра (рис. 426). Если ребро тетраэдра
обозначить через а, то высоты граней будут равны
Из равенства высот SA, SB, SC следует равенство
S

Рис. 426
отрезков ОА, ОВ, ОС. А они пер-
пендикулярны сторонам треуголь-
ника в основании тетраэдра (по
теореме о трех перпендикулярах).
Отсюда следует, что точка О яв-
ляется центром окружности, впи-
санной в основание тетраэдра. Сле-
довательно, отрезки ОА, ОВ и ОС
равны . Обозначим через <р
двугранный угол при ребре, содер-
жащем точку А. Тогда
cos <[=°А =ал^ • ал^—
= -Г»
AS
J_
3
6 ‘ 2
: 70°32'.
Очевидно, двугранные углы при
остальных ребрах тетраэдра такие
же по величине.

5 19. Многогранники
311
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
1.		Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?
2.		Что такое линейный угол двугранного угла? '
3.		Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?
4.		Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла).
5.		Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла.
6.		Что такое многогранник?
7.		Какой многогранник называется выпуклым?
8.		Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина?
9.		Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?
10.		Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани — параллелограммы.
11.		Что такое высота призмы?
12.		Что такое диагональ призмы?
13.		Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное
сечение?
14.		Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания призмы и данную точку на одной из боковых граней?
15.		Какая призма называется прямой (наклонной)?
16.		Какая призма называется правильной?
17.		Что такое боковая поверхность призмы (полная поверхность призмы)?
18.		Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
19.		Что такое параллелепипед?
20.		Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
21.		Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
22.		Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
23.		Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
24.		Что такое куб?
25.		Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали -равен сумме квадратов трех его измерений.

312
11 класс
26.		Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?
27.		Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?
28.		Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину?
29.		Что такое диагональное сечение пирамиды?
30.		Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней?
31.		Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
32.		Объясните, что такое усеченная пирамида.
33.		Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды?
34.		Что такое апофема правильной пирамиды?
35.		Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупернметра основания на апофему.
36.		Какой многогранник называется правильным?
37.		Перечислите пять типов правильных многогранников и опишите их.
А
((V? ЗАДАЧИ
1.		Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА i и ВВ i на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если AAi—a, BBi = b, А\В\=с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если AA\ — Z, BBi=4, А\В\ = 6, АВ=7.
2.		У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен <р, а плоский
угол (Ьс) равен у ^ ср, у <	. Найдите два других плоских
угла: а = Z.(ab), (3=А(ас).
3.		У трехгранного угла один плоский угол равен у, а прилежащие к нему двугранные углы равны Ф ( Ф < -у-) • Найдите два других плоских угла а и угол {5, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
4*. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны к, а третий угол равен у. Найдите двугранные углы <?, противолежащие плоским углам а, и угол (3 между плоскостью у и противолежащим ребром.
5.		Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.
6.		Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?

§19. Многогранники
313
7.		Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания.
8.		Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.
9.		У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания.
10.		В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.
11.		Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
12*. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
14*. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения (рис. 427).
15.		Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы (рис. 428).
16.		В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость,

Рис. 427
Рис. 428

314
11 класс
пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
17.		В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
18.		В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.
19*. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы (рис. 429).
20.		В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
21.		Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите высоту
22*. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам н пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I.
23.		Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны
2		см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
24.		По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
25.		Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания I. Найдите боковую поверхность призмы.
26.		У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2 и
3		м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
27.		Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине?
28.		Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
29.		В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдит полную поверхность этого параллелепипеда.
30.		В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60®. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
31.		В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите бблыпую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

§19. Многогранника
315
32.		Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.
33*. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.
34.		В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
35.		Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
36*. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.
37.		В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения.
38.		Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
39.		Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота Л, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.
40.		Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ъ, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рис. 430).
41.		Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

У
Z
Рио. 429
Рис. 430

316
11 класс
42.		Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
43.		Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
44.		В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол р. Найдите ее высоту.
45.		Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60а. Найдите высоту пирамиды.
46.		Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
47*. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
48.		Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
49.		Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм (рис. 431).
50.		Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании.
51.		Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре.
52.		Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер.
53.		У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
54.		Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
55.		Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна

S 19. Многогранники
317
512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2?
56.		В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
57.		Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.
58.		В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при основании пирамиды.
59.		По данной стороне основания а и боковому ребру Ъ найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
60.		По данной стороне основания а и высоте Ъ найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
61.		По стороне основания а и высоте h найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
62.		Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро с, а радиус окружности, вписанной в основание, г.
63.		В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность 18 м2 Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
64.		По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
65.		Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Q, а двугранные углы при основании <р.
66.		Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.

20
Рис. 431
Рис. 432

318
11 класс
67.		Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
68.		В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону., основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2.
69.		Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
70.		Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
71.		Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
72.		В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
73.		Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.
74.		В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего — Ь. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды1.
75.		Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.
76.		В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 432).
77.		В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
78.		Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота й, а стороны оснований а и Ъ.
79.		Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
1 Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды.

§ 20. Тела вращения
319
80.		Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
81.		Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
82*. Найдите двугранные углы октаэдра.
83. Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр?
84*. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
§ 20. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
181.		ЦИЛИНДР
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 433). Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,— образующими цилиндра.
Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Рио. 433
Рис. 434

320
11 клало
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром. Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 434).
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.
182.		СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЯМИ
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 435). Две его стороны — образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды оснований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 436).
Задача (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Решение. Сторона квадрата равна -\/Q. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна
л(#)!=Т-

§ 20. Тела вращения
321
Теорема 20.1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Пусть (3 — плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра (рис. 437). Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость Р с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью р с окружностью основания. Теорема доказана.
183.		ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ
Ф
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма,
у которой плоскостями оснований являются плоскости осно-
ваний цилиндра, а боковыми ребрами — образующие цилиндра
(рис. 438).
Задача (7). В цилиндр вписана правильная шести-
угольная призма. Найдите угол между диагональю ее бо-
ковой грани и осью цилиндра, если радиус основания
равен высоте цилиндра.
Решение. Боковые грани' призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (рис. 439). Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты.

Рис. 438 11 Заказ 878
Рис. 439

322
11 класс

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 440).
Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис. 441).
184.		КОНУС
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 442). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 443).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

§ 20. Тела вращения
323

5

185.		СЕЧЕНИЯ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445).

Рис. 444
Рис. 445

324
11 класс

Теорема 20.2. Плоскость, параллельная плоскости осно-
вания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую по-
верхность — по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть р — плоскость, параллельная
плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис. 446).
Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, сов-
мещающее плоскость Р с плоскостью основания, совмещает
сечение конуса плоскостью Р с основанием конуса. Следо-
вательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение
боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса.
Теорема доказана.
jjv Задача (15). Конус пересечен плоскостью, парал-
QQ) лельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найди-
те площадь сечения, если радиус основания конуса R, а
высота Н.
Решение. Сечение конуса получается из основания
конуса преобразованием гомотетии относительно вершины
конуса с коэффициентом гомотетии й=-^- . Поэтому ра-
н
диус круга в сечении г — Е-^т. Следовательно, площадь
сечения
я
s=*R2w-
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает, от него меньший конус. Оставшаяся часть •называется усеченным конусом (рис. 447).

§ 20. Тела вращения
325
186.		ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПИРАМИДЫ
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 448). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.
S

Задача (25). У пирамиды все боковые ребра равны.
Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
•Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины
пирамиды на плоскость основания (рис. 449) и обозначим
длину боковых ребер пирамиды через I. Вершины осно-
вания удалены от точки О на одно и то же расстояние
R=-\jl1 — OS1.
Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом R.
Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 450).
Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около

32G	11 класс

основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 451). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.
187.		ШАР
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Рис. 452

§ 20. Тела вращения
327
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности п проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 452).
188.		СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ
Теорема 20.3. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть ■ основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство. Пусть а — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра.
Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора 0Х2 = 00'2+ 0'Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О'Х ^ -yjR1 — ОО'2, т. е. любая точка сечения шара плоскостью а находится от точки О' на расстоянии, не большем -yjR2— ОО'2, следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом -^R2—ОО'2.
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью а есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы — большой окружностью.

Рис. 453
Рис. 454

328
11 класс

Задача (30). Через середину радиуса шара проведена
перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь
полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус
круга в сечении будет
Уд:-(т)=ял/т
. Отношение
площади этого круга к площади большого круга равно

:лЛ2—
з_
4 '
189.		СИММЕТРИЯ ШАРА
Теорема 20.4. Любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр шара является его
центром симметрии.
Доказательство. Пусть сс — диаметральная плос-
кость и X — произвольная точка шара (рис. 456). Построим
точку X', симметричную точке X относительно плоскости а.
Плоскость а перпендикулярна отрезку XX' и пересекает-
ся с ним в его середине (в точке А).
Из равенства прямоугольных тре-
угольников ОАХ и ОАХ' следует,
что ОХ' = ОХ.
Так как OX^.R, то и OX'^.R,
т. е. точка, симметричная точке X,
принадлежит шару. Первое утвер-
ждение теоремы доказано.
Пусть теперь X" — точка, сим-
метричная точке X относительно
центра шара. Тогда OX" = OX^R,
т. е. точка X" принадлежит шару.
Рис. 456	Теорема доказана полностью.

§ 20. Тела вращения
329
190.		КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К ШАРУ
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 457).

Теорема 20.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Доказательство. Пусть а — плоскость, касательная к шару, и А — точка касания (рис. 458). Возьмем произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так как О А — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то
ОХ > OA=R.
Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Задача (39). Шар радиуса R касается всех сторон
правильного треугольника со стороной о. Найдите расстоя-
ние от центра шара до плоскости треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания шара со
сторонами треугольника (рис. 459). Опустим из центра О
шара перпендикуляр OOi на плоскость треугольника.
Отрезки ОА, ОБ и ОС перпендикулярны сторонам. По
теореме о трех перпендикулярах отрезки О\А, 0\В и 0|С
тоже перпендикулярны соответствующим сторонам тре-
угольника.

330
11 класс

Из равенства прямоугольных
треугольников 00\А, 00\В, СЮ\С
(у них катет общий, а гипотенузы
равны радиусу) следует равенство
сторон: 0\А = 0\В = 0\С. Следова-
тельно, 01 — центр окружности,
вписанной в треугольник. Радиус
этой окружности, как мы знаем,
равен . По теореме Пифагора
находим искомое расстояние. Оно
равно
л10А2 — 0\А2 =д/В.2—•
191.		ПЕРЕСЕЧЕНИЕ дОУХ СФЕР
Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательство. Пусть О i и 02 — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость а, перпендикулярную прямой 0|02.
Обозначим через В точку пересечения плоскости а с прямой 0|02. По теореме 20.3 плоскость сс пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую 0i02. Она пересечет сферы по окружностям с, центрами 0\ и 02. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пере- сечешш. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.

Задача (44). Два равных шара радиуса R располо-
жены так, что центр одного лежит на поверхности дру-
гого. Найдите длину линии, по которой пересекаются
их поверхности.
Решение. Проведем сечение через центры шаров
(рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть
окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равно-
стороннего треугольника ОАОi со сторонами, равными
R -ч/З
R. Высота равна . Следовательно, длина линии равна
лдТз.

S 20. Тела вращения
331
ы
А
Рис. 460	Рис. 461
192.		ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник называется вписанным в шар, если все его
вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называет-
ся описанным около шара, если все его грани касаются
поверхности шара.
Задача (47). Докажите, что центр шара, описанного
около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
Решение. Опустим перпендикуляр О А из центра ша-
ра О на плоскость основания пирамиды (рис. 462). Пусть
X — произвольная вершина основания пирамиды. По тео-
реме Пифагора
АХ2 = ОХ2 - OA2=R2 — О А2.
Таким образом, АХ одно и то же для любой вершины
основания пирамиды. А это значит, что точка А является
центром окружности, описанной около основания пирами-
ды. Следовательно, центр шара О лежит на оси пирамиды.

332
11 класс
193.		О ПОНЯТИИ ТЕЛА И ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
В ГЕОМЕТРИИ
В предыдущем изложении мы неоднократно употребляли
слова тело и поверхность тела, вкладывая в их содержание
известные вам наглядные представления. Теперь мы дадим
определение геометрического тела и его поверхности.
Точка фигуры называется внутренней, если существует шар
с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре.
Фигура называется областью, если все ее точки внутренние
и если любые две ее точки можно соединить ломаной,
целиком принадлежащей фигуре. Поясним данное определение
на примере шара (рис. 463).
Каждая точка шара, которая удалена от его центра на
расстояние г, меньшее R, является внутренней точкой шара,
так как шар сцентром в этой точке и радиусом R—г содержится
в исходном шаре радиуса R. Все точки шара, которые удалены
от центра на расстояние, меньшее R, образуют область. В самом
деле, любые две такие точки А п 3 соединяются отрезком АЗ,
все точки которого удалены от центра на расстояние, меньшее R.
Точка пространства называется граничной точкой данной
фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит
как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принад-
лежащие ей. Для шара граничными точками являются
точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное
R, т. е. граница шара есть сфера. Для каждой такой точки С
можно указать в каждом шаре с центром С и радиусом
г>0 точки С\ и Сг, отстоящие от точки О на расстояние,
большее R, и на расстояние, меньшее R.
Область вместе с ее границей называется замкнутой
областью.
Телом называется конечная замкнутая область. Граница те-
ла называется поверхностью тела. Шар является примером те-
ла. Другими знакомыми нам при-
мерами тел являются многогран-
ник, цилиндр и конус.
Подобно тому как в пространст-
ве, на плоскости вводятся понятия
внутренней точки фигуры, гра-
ничной точки и области. Граничные
точки области образуют границу
области. В круге радиуса R точки,
которые находятся на расстоянии,
меньшем R, от центра, внутрен-
ние, а точки, находящиеся на рас-
стоянии R, граничные. Круг —
замкнутая область.

§ 20. Тела вращения
333
Плоский многоугольник — это ограниченная замкнутая область на плоскости, граница которой является многоугольником.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра).
2.		Какой цилиндр называется прямым?
3.		Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?
4.		Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
5.		Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру?
6.		Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность, конуса?
7.		Какой конус называется прямым?
8.		Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?
9.		Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.
10.		Что такое усеченный конус?
11.		Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу?
12.		Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?
13.		Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
14.		Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
15.		Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг?
16.		Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии.
17.		Какая плоскость называется касательной к шару?
18.		Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
19.		Какая прямая называется касательной к шару?
20.		Докажите, что линия пересечения двух сфер есть окружность.
21.		Какой многогранник называется вписанным в шар (описанным около шара)?

334
11 класс

ЗАДАЧИ
1.		Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
2.		Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
3.		Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра -на расстоянии 4 см от -нее.
4.		Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечсшш получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси (рис. 464).
5.		Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
6.		В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти тошен, равен 60°. Найдите угол х между проведенной прямой и осью цилиндра (рис. 465).
7.		В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Рис. 464
Рис. 465

§ 20. Тела вращения
335

8.		Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 466).
9.		Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.
10.		Образующая конуса I наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту.
11.		Радиус основания конуса Д. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
12.		В равностороннем конусе (в осевом сечении правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а (рис. 467).
13.		Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
14.		Радиус основания конуса Я, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом ф к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
15.		Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса Л, а высота Н.
16.		Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
17.		Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей I. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса.

336
11 класс

18*. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри конуса (рис. 468).
19.		Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.
20.		Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту.
21.		Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каждый из радиусов.
22.		Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.
23.		Площади основании усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
24.		Площади оснований усеченного конуса М и т. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
25.		У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
26*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 469).
27*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. В -него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.

§ 20. Тела вращения
337
28.		Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 470).
29.		Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
30.		Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
31.		Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
32.		Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60° (рис, 471)?
33.		Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
34.		На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.
35.		Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
36*. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 472).
37. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару,

Рис. 470
Рис. 471

33S
11 класс

вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
38.		Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 473).
39.		Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
40.		Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
41.		Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
42.		Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по кругам радиусов п и г2. Найдите радиус шара R.
43.		Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
44.		Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
45.		Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
46.		Найдите‘радиус шара, описанного около куба со стороной а.

§ 21. Объемы многогранников
339
47.		Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
48.		Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
49.		Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
50.		В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
51*. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
52.		Правильная л-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно о. Найдите высоту призмы при: 1) л = 3; 2) л = 4; 3) п = 6.
53.		Сторона основания правильной п-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен <р. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
54.		Найдите радиус шара, описанного около правильной л-угольиой пирамиды, если сторона основания равна о, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
§ 21. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ
194.		ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА
Подобно тому, как для фигур на плоскости вводится понятие площади, для тел в пространстве вводится понятие объема. Сначала рассмотрим только простые тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
Для простых тел объем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1.		Равные тела имеют равные объемы.
2.		Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.
3.		Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.
Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубических сантиметрах; если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах; если ребро куба равно 1 км, то объем будет в кубических километрах и т. д.

340
11 класс
Примером простого тела явля-
ется любой выпуклый многогран-
ник. Его можно разбить на конеч-
ное число треугольных пирамид
следующим образом. Отметим ка-
кую-нибудь вершину S многогран-
ника. Разобьем на треугольники все
грани многогранника, не содер-
жащие вершину S. Тогда треуголь-
ные пирамиды, для которых осно-
ваниями являются эти треугольни-
ки, а общей вершиной — точка S,
дают разбиение многогранника на
треугольные пирамиды. На рисунке 474 показано такое раз-
биение для произвольной пирамиды.

195.		ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейны-
ми размерами а, Ь, с. Для этого сначала докажем, что объемы
двух прямоугольных параллелепипедов с равными основа-
ниями относятся как их высоты.
Пусть Р и Р | — два прямо-
угольных параллелепипеда с общим
основанием ABCD и высотами АЕ
и АЕ|. Будем считать для опреде-
ленности, что АЕ\<.АЕ (рис. 475).
Пусть V и Vi — объемы параллеле-
пипедов. Разобьем ребро АЕ па-
раллелепипеда Р на большое число
п равных частей. Каждая из них
равна —. Пусть т — число точек
П
деления, которые лежат на ребре
АЕ\. Тогда
(^) m^AE^f^f) (пг +1).
Отсюда

С
т_<^АЕ\ ^ m	■ 1
п АЕ ""л п
(*)
Проведем через точки деления
плоскости, параллельные основа-
нию. Они разобьют параллелепи-
пед Р на п равных параллелепипедов.

5 21. Объемы многогранников
341
Каждый из них имеет объем ■£-. Параллелепипед Р| содержит первые т параллелепипедов, считая снизу, и содержится в тп + 1 параллелепипедах. Поэтому

(« + !)•
Отсюда
т	^ m	|	1_
п V п ' п

Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа и 4тг заключены между — и ——|——. Поэтому они отличаются
АЬ	П Л П
не более чем на —. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при	что и
требовалось доказать.
Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а, 1, 1; a, ft, 1; о, ft, с. Обозначим их объемы Vi, Vi и V соответственно. По доказанному
Vj__ а_ У, _Ь_	V__c_
1	1 ’ V, 1 ’ v2 1 '
Перемножая эти три равенства почленно, получим:
V=abc.
Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, ft, с вычисляется по формуле V=аЬс.

Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на
2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро
куба?
Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда
(х + 2)3 —х3 = 98, т. е. x2 + 2x —15=0. Уравнение имеет два
корня: х = 3, х= — 5. Геометрический смысл имеет только
положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.
196.		ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем наклонного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ (рис. 476).
Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию ABCD, и дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой BB\BiCC\Ci (рнс. 476, а). Отсечем теперь от

342
11 класс
полученного тела треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро AD и перпендикулярной основанию ABCD. Тогда получим снова параллелепипед. Этот параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда.
Действительно, достроенная призма и отсекаемая совмещаются параллельным переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одинаковые объемы. При описанном преобразовании параллелепипеда сохраняются площадь его основания и высота. Сохраняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию.
Применяя еще раз такое преобразование к наклонным граням, получим параллелепипед, у которого все боковые грани перпендикулярны основанию, т. е. прямой параллелепипед.
Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала призмой 1, а затем отсекая . призму 2 (рис. 476, б). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведе- шно его измерений. Произведение двух измерений есть площадь основания параллелепипеда, а третье измерение — его высота.
Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Так как при описанном выше преобразовании данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз сохраняются объем, площадь основания и высота, то и у исходного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту.
Итак, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Рис. 476

§ 21. Объемы многогранников
343
Задача (11). В прямом парал-
лелепипеде стороны основания о
и b образуют угол 30°. Боковая по-
верхность равна S. Найдите его
объем.
Решение. Обозначим высоту
через х (рис. 477). Тогда
(2a + 2b)x=S.
Отсюда
Х = 2(а+Ь) '
Площадь основания параллелепи-
педа равна аЪ sin 30°	Объем
А
равен
abS
4(о + Ь) ‘

Рис. 477
197.		ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 478). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

344
11 класс

Рис. 480
Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 479). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть А — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольника д прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть ах — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка X описывает треугольник д, отрезки ах заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника Д, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы.
Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее составляющих. По доказанному объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем исходной призмы равен:
V = S,H + S2H+... + SnH=(S, + So +... + Sn)H,
где St, S2, ..., Sn — площади треугольников, на которые разбито основание призмы, а Ы — высота призмы. Сумма площадей треугольников равна площади S основания данной призмы. Поэтому
V=SH.
Итак, объем, любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

S 21. Объемы многогранников
345

Задача (24). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 480). Подвергнем одну из •них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием Служит сечение исходной призмы, а высота равна I. Эта призма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной призмы равен QI.
198.		РАВНОВЕЛИКИЕ ТЕЛА
Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.
Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы.
Разделим высоту каждой пирамиды на п равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на п слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в ft-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (ft —1)-й слой второй пирами-

Рис. 481

346
11 класс
ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и
тот же • Так как у этих призм и высоты одинаковы
» то онп имеют равные объемы.
Пусть V\ и V2 — объемы пирамид, a V\ и V2 — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в ft-м слое первой пирамиды равен объему призмы (ft — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме последнего. Объем призмы последнего слоя равен
S—, где S — площадь основания пирамиды, а Н — высота.
П
Отсюда следует, что V[ —V2 — S—. Так как, кроме того, Vi > V\,
П
a V2<V2, то VI>V2—или V2 —	. Это неравенство
П	П
выполняется при любом сколь угодно большом п. А это возможно только при V2 — Vi<TO, т. е. при	Поменяв ро
лями пирамиды, получим противоположное неравенство V2^V\. А отсюда следует, что V\ = V2. Утверждение доказано.
199.		ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Пусть SABC — треугольная пирамида с вершиной S и осно-
ванием АВС. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы
с тем же основанием и высотой (рис. 482). Эта призма состав-
лена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и еще двух
треугольных пирамид SCC\Bi и SCBB|.
У второй и третьей пирамид
равные основания — АСС\В\ и
ABiBC и общая высота, проведен-
ная из вершины S. Поэтому у них
равные объемы.
У первой и третьей пирамид
тоже равные основания — Д SAB и
ABBiS и совпадающие высоты,
цроведенные из вершины С. Поэто-
му у них тоню равные объемы.
Значит, все три пирамиды име-
ют. один и тот же объем. Так как
сумма этих объемов равна объему
призмы, то объемы пирамид рав-
SH
5	С,

$ 21. Объемы многогранников
347
Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
v-т SH.
Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники Д |, Д2) ...» Д „. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту же высоту Н, что и данная пирамида, то объем ее равен:
r=-§-H(S, +S2 + ...+S„)=-i-SH.
Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
200.		ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Задача (44). Найдите объем усеченной пирамиды с
площадями оснований Qi и Q2 (Qi > Qi) и высотой Л.
Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до
полной (рис. 483). Пусть х— ее высота. Объем усеченной
пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид:
одной с площадью основания Qi и высотой х, другой с
площадью основания Q2 и высотой х — h.
Из подобия этих пирамид находим х: ^-=( х . ) .
Отсюда х — —^—. Объем усеченной пирамиды равен:
Voi-VQz
V

hVol q( h л[0\ Voi— -iol	Vo2

l_^Qi т/Qi — Q2VQ2
3
g- h (Qi -(-VQiQs -f- Qi)-

Piic. 483

348
11 класс
201.		ОБЪЕМЫ ПОДОБНЫХ ТЕЛ
Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т'. Обозначим через ft коэффициент подобия.
Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Pi, Р2, ..., Ря. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т', переводит пирамиды Pi, Р2, ..., Р„ в пирамиды Р[, Р2, ..., Р'п. Эти пирамиды составляют тело Г', и поэтому объем тела Т' равен сумме объемов пирамид Р[, Р2	Р'п.
Так как пирамиды Р/ и Р, подобны и коэффициент подобия равен ft, то отношение их высот равно ft, а отношение площадей их оснований равно ft2. Следовательно, отношение объемов пирамид равно ft3. Так как тело Т составлено из пирамид Р„ а тело Т' составлено из пирамид Р/, то отношение объемов тел Т' и Т тоже равно ft3.
Число ft — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия. Следовательно, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Задача (48). Через середину высоты пирамиды про-
ведена плоскость, параллельная основанию. В каком отно-
шении она делит объем пирамиды?

Решение. Как мы знаем,
проведенная плоскость отсекает по-
добную пирамиду (рис. 484). Коэф-
фициент подобия равен отношению
1
высот, т. е. —.
Поэтому объемы пирамид отно-
сятся как (-тг) : 1. Следователь-
но, плоскость делит нишу пирами-
ду на части, объемы которых от-
носятся как
Рис. 484
-ЬО-тН^

$ 21. Объемы многогранников
349
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.		Сформулируйте основные свойства объема.
2.		Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.
3.		Докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
4.		Докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
5.		Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
6.		Докажите, что треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
7.		Выведите формулу для объема треугольной пирамиды.
8.		Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
9.		Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.

ЗАДАЧИ
1.	Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
2.	Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
3.	Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба?
4.	Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
5.	Кирпич размером 25X12X6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.
6.	Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5X1.75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
7.	Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
8.	Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. Как увеличится его объем?
9.	Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?
10.	Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диа-

350
11 класс
гональ которого а составляет с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью угол Р?
11.		В прямом параллелепипеде стороны основания а и Ъ образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
12.		В прямом параллелепипеде стороны основания 2 -у/2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
13.		Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда.
14.		Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
15.		Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
16*. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
17*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
18*. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, Ь, с. Ребра а и Ъ взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 485). Найдите объем параллелепипеда.
19.		По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
20.		Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
21.		Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
22.		Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
23.		В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние мсл:ду двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.
24.		В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны / (рис. 486).
25.		Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м,

§ 21. Объемы многогранников
351

/
\
\
)	
а

Рис. 485
Рис. 486
а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.
26.		Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.
27.		Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
28.		В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
29.		Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2,10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
30.		Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
31.		Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
32.		Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота ft, диагонали наклонены к плоскости основания под углами а и Р и острый угол между диагоналями основания равен у?
33.		По стороне основания а и боковому ребру 6 найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
34.		Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды

352
11 класс

Рис. 487
а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
35.		Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно Ь (рис. 487). Найдите объем пирамиды.
36.		Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны ?
37.		По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
38.		По ребру а октаэдра найдите его объем.
39.		Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м к 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
40*. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
41.		Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.
42.		В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы а и р. Найдите объем пирамиды.
43.		Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого а и р, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у.
44.		Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Qi и Q2 (Qi>Q2) и высотой Л.
45.		В пирамиде с площадью основания Qi проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды.
46.		В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и 6, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен, а. Найдите объем пирамиды.

§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
353
47.		Решите предыдущую задачу в случае правильной усечен-
ной треугольной пирамиды.
48.		Через середину высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию. В каком отношении она делит
объем пирамиды?
49.		Высота пирамиды Л. На каком расстоянии от вершины
находится сечение, параллельное основанию и делящее ее
объем пополам?
§ 22. ОБЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЯ ВРАЩЕНИЯ
202.		ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
Если тело простое, т. е. допускает разбиение на конечное
число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов
этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется
следующим образом.
Данное тело имеет объем V, если существуют содержа-
щие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с
объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.
Применим это определение к нахождению объема цилиндра
с радиусом основания R и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга были построены
такие два п-угольника (один — содержащий круг, второй —
содержащийся в круге), что их площади при неограниченном
увеличении п неограниченно приближались к площади круга.
Построим такие многоугольники для круга в основании ци-
линдра. Пусть Р — многоугольник, содержащий круг, а Р' —
многоугольник, содержащийся в круге (рис. 488).
Построим две прямые призмы
с основаниями Р и Р' и высо-
той Н, равной высоте цилиндра.
Первая призма содержит цилиндр,
а вторая призма содержится в ци-
линдре. Так как при неограничен-
ном увеличении п площади основа-
ний призм неограниченно прибли-
жаются к площади основания ци-
линдра S, то их объемы неограни-
ченно приближаются к SH. Соглас-
но определению объем цилиндра
V=SH=nR2H.
Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
12 Заказ 873

Рис. 488

354
11 класс
203.		ОБЪЕМ КОНУСА
Построим два многоугольника
в плоскости основания конуса: мно-
гоугольник Р, содержащий основа-
ние конуса и многоугольник Р',
содержащийся в основании конуса
(рис. 489). Построим две пирамиды
с основаниями Р и Р' н вершиной в
вершине конуса. Первая пирамида
содержит конус, а вторая пирами-
да содержится в конусе.
Как мы знаем, существуют та-
кие многоугольники Р и Р\ пло-
щади которых при неограниченном
увеличении числа их сторон п не-
ограниченно приближаются к пло-
щади круга в основании конуса. Для таких многоугольников
объемы построенных пирамид неограниченно приближаются
к — SH, где S — площадь основания конуса, а Н — его высота.
3
Согласно определению отсюда следует, что объем конуса
V=±-SH=4-nR2H.
о	о
Итак, объем конуса равен одной трети произведения площа-
ди основания на высоту.

204.		ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Зад а ч а (15). Найдите объем усеченного конуса, у
которого радиусы оснований R\ и R2 (R2<Ri), а высота Л.
Решение. Дополним данный усеченный конус до
полного (рис. 490). Пусть х — его высота. Объем усеченно-
го конуса равен разности объемов двух полных конусов:
одного с радиусом основания 2?i и высотой х, другого с
радиусом основания R2 и высотой x — h.
Из подобия конусов находим х: ^x__h
Объем усеченного конуса равен:

лй?
АД,
Д| —Да

ЙД,
Hi —Да
Д,	ЛД,
Д2 ’ х~Д,-Д2 '

д?-д) Д. — Да
■|-яЛ(Л?+Л,Д2 + Л1).

§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
355

205.		ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Телом вращения в простейшем случае называется такое
тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой пря-
мой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на
этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются при-
мерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления объема
тела вращения.
Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плос-
кости декартовы координаты х, у, приняв ось тела за ось х
(рис. 491). Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии,
для которой ось х является осью симметрии. Пусть y = f(x) —
уравнение той части этой линии, которая расположена над
осью х.
Проведем через точку (х, 0) плос-
кость, перпендикулярную оси х, и
обозначим через V {х) объем части
тела, лежащей слева от этой плос-
кости; V (х) является функцией от х.
Разность V (х + й) — V (х) представ-
ляет собой объем слоя тела толщи-
ной й, заключенного между двумя
плоскостями, которые перпендику-
лярны оси х и проходят через
точки с абсциссами х и х + й.
Пусть М — наибольшее, a m —
наименьшее значение функции f {х)
на отрезке [х, х + ft]. Тогда рас-
сматриваемый слой тела содержит

356
11 класс
цилиндр с радиусом т и высотой h и содержится в цилиндре с радиусом М и той же высотой h (см. рис. 491). Поэтому
При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине л/2 (х). Средняя же часть этого неравенства при стремлении h к 0 стремится к производной V (х) функции V (х). Значит,
Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями х=а и х = Ь.
206.		ОБЪЕМ ШАРА
Применим полученную формулу для объема тел вращения к вычислению объема шара.
Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат (рис. 492). Плоскость ху пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая, как известно, задается уравнением
лm2h	лM2h,
пт, vjx+m-vm м,_
h
V' (х)=л f2{x).
По известной формуле анализа
ь
V (b)—V (а) V (х)	л f (х) dx, a<b.
Q

н
Полуокружность, расположенная над осью х, задается урав-

Рис. 492
-я
Итак, объем шара равен лЯ3.
О

§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
357
207.		ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА И СЕКТОРА
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара (рис. 493):
л	л
• V=n J ■ (R2-x2)dx = n(^R2x-^j ,	= лЯ2(д—
л-я
л-я
где R — радиус шара, а Я — высота шарового сегмента.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 494). Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула:
F = -f-n Д2Я,
где R — радиус шара, а Я — высота соответствующего шарово го сегмента.

Рис. 493
Рис. 494

358	11 класс

208.		ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Впишем в цилиндр правильную п-угольную призму (рис. 495). Площадь боковой поверхности этой призмы S„=PnH, где Р„ — периметр основания призмы, а Н — ее высота.
Как мы знаем, при неограниченном увеличении п периметр Рп неограниченно приближается к длине С окружности основания цилиндра. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы неограниченно приближается к СН. Поэтому величина СН принимается за площадь боковой поверхности цилиндра.
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле
S = СН = 2nRh,
где R — радиус цилиндра, а Н — его высота.

209.		ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Впишем в конус правильную п-угольную пирамиду (рис. 496). Площадь ее боковой поверхности
где Рп — периметр основания пирамиды, а 1п — апофема.
При неограниченном увеличении п периметр основания Рп неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема 1п — к длине I образующей. Соответственно боковая поверхность пирамиды .неограниченно приближается к Су. В
„ I
связи с этим величина С — принимается за площадь боковой поверхности конуса.

J 22. Объемы и поверхности тел вращения
359
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
S=±-Cl=nRl,
где R — радиус основания конуса, а I — длина образующей. Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований Д i, Дг и образующей I получается формула
5 = л(Д,+ Ra) l.
210.		ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Опишем около сферы выпуклый многогранник с малыми гранями (рис. 497). Пусть S' — площадь поверхности многогранника, т. е. сумма площадей его граней. Найдем приближенное значение площади поверхности многогранника, предполагая, что линейные размеры граней, т. е. расстояние между любыми двумя точками любой грани, меньше е.
Объем многогранника равен сумме объемов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной —• центр сферы (рис. 498). Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника
V=±-S'R.
О
Объем многогранника больше объема шара, ограниченного сферой, но меньше объема шара с тем же центром и с радиусом Д-f-e. Таким образом,
-f лЛ5 < -i- S'R < ~л (Л + е)\
Отсюда
4лД2 < S' < 4л (Д + е)2 (1 + -£-) .

Рис. 497
Рис. 498

S60
11 класс
Мы видим, что площадь поверхности описанного многогранника при неограниченном уменьшении размеров его граней, т. е. при неограниченном уменьшении е, стремится к 4пЛ1 2. Поэтому величина 4лД2 принимается за площадь сферы. Итак, площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
5 = 4лД2.
Аналогично определяется площадь сферической части поверхности шарового сектора, т. е. площадь сферического сегмента, для нее получается формула
S = 2nRH,
где Н — высота сегмента.

1.
2.
3.
4.
5.
7.
8.
9.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Выведите формулу для объема цилиндра.
Выведите формулу для объема конуса.
Выведите формулу для объема тел вращения.
Выведите формулу для объема шара.
Что такое шаровой сегмент? Выведите формулу для объема шарового сегмента.
Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора?
По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?
По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса (боковой поверхности усеченного конуса)? По какой формуле вычисляется площадь сферы?
S)	ЗАДАЧИ
1.	25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3 4).
2.	Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
3.	Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, ■не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз?
4.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
361
5.		Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную
шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
6.		Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной
стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова
масса 25 м этой трубы?
7.		Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания
которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи
щебня.
8.		Осевым сечением конуса является равнобедренный прямо-
угольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите
объем конуса.
9.		Длина образующей конуса равна I, а длина окруж-
ности основания с. Найдите объем конуса.
10.		Образующая конуса I составляет с плоскостью основания
угол а. Найдите объем конуса.
11.		Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом.
Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем ци-
линдрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность
сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
12.		Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и
диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндри-
ческий сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высо-
ко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
13.		Равносторонний треугольник вращается вокруг своей сто-
роны а. Найдите объем полученного тела вращения.
14.		Прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вращается
около гипотенузы. Найдите объем полученного тела
(рис. 499).
15*. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы
оснований Ri и Л2 (R2<.R\), а высота Л.
16.		Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов
42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают,
когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на
площадь поперечного сечения в сере-
дине бревна?
17.		Радиусы .оснований усеченного кону-
са R и г, образующая наклонена к
плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем.
18.		Площадь осевого сечения усеченного
конуса равна разности площадей! осно-
ваний, а радиусы оснований R и г.
Найдите объем этого конуса.
19.		Усеченный конус, у которого радиусы
оснований 4 см и 22 см, и равнове-
ликий цилиндр имеют одну и ту же
высоту. Чему равен радиус основания
этого цилиндра?

Рис. 499

ЗС2
11 класс
20.		По данным радиусам оснований Лиг определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
21.		Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
22.		Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
23.		Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца
11,4		г/см3)?
24.		Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
25.		Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
26.		Сосуд имеет форму полушара радиуса Л, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем VI
27.		Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
28.		Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
29.		Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
30.		Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
31.		Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
32.		Круговой сектор с углом 30° и радиусом Л вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
33.		Поверхности двух шаров относятся как т:п. Как относятся их объемы?
34.		Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
35.		Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
36.		Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см (рис. 500)?
37.		Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.

§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
363
В
Рис. 500
38.		Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?
39.		Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
40.		Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
41.		В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?
42.		Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
43.		Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
44.		Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите боковую поверхность конуса.
45.		Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник?
46.		Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
47.		Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
48.		Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
49.		Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м?
50.		Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей
27,5		см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
§ 1.
4. Через две точки можно провести только одну прямую. 7. 1) 6 см;
2)		7,7 дм; 3) 18,1 м. 10. Не принадлежит. 11. Не может. 12. Не могут. 13. Не могут. 14. 0,5 м или 5,9 м. 15.1) АС —9 м, ВС = 6 ы; 2) АС = 10 м, ВС = 5 м; 3) АС = =ВС = 7,5 м; 4) .АС = 6 ы, ВС = 9 м. 18. 1), 4), 6) Пересекает; 2), 3), 5) не пересекает. 19. С отрезков. 24. 1) 110°; 2) 119’; 3) 179°. 25. 2), 3) lie может. 26. 1) Z (ас) = 45”, А(Ьс) = 15”; 2) А(ас) = 40”, А(Ьс) = 20”; 3) А(ас)= А(Ьс) = = 30”; 4) 2-{ас) = 24°, А{Ьс) = 30°. 29. lie существует. 31. 1) 1,2 м; 2) 2,4 см. 33. 11 см. 34. 100”. 36. PQ = 5 см, QB = 6 см,РЛ = 7 см. 37. ZL.A = 40”, ZB = G0”, /.С = 80°. 39. ВаАВС АВ = 5 см, ЛС = 6 см, у1С = 7 см. 40. Существует. 42. Нельзя. 43. Не может. 49. 2) У к а а а и и е. Соедините отрезком точки А и С и воспользуйтесь утверждением задачи 49, 1). 51. 1) См. решение задачи 30 в тексте; 2) проведите через точку А прямую, отличную от а.
§ 2.
1. 150°, 135°, 120”, 90”. 2. 1), 2) Не могут; 3) могут. 4. 1) 105° и 75°;
2)		110” и 70°; 3) 45” и 135”; 4) 90” и 90°. 5.180”; 90°; 120”. 6.1) 72” и 108°; 2) 54” и 126”; 3) 55° и 125”; 4) 88° и 92°. 7. 150”, 150”, 30”. 8. 130°. 10. 144” и 36°. 11. 65° и 115”. 12. Все углы прямые. 15. 1) 15”; 2) 26°; 3) 86°. 16. 1) 120”; 2) 150”; 3) 178”. 18. Указание. Стороны угла лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, частью которой является данный луч. 19. 90”.
20.		Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 19 н теоремой 2.3.
21.		1) 155”; 2) 135°; 3) 105°. 22. Указание. Воспользуйтесь теоремой 1.1. 23. 1) 20”; 2) 60”; 3) 90”. 24. ^(а,Ь) = 120”, /2(а,с) = 150”, /1(Ьс) = 30”. 25. 1) 110°; 2) 175”; 3) 170”; 4) 130”. 26. 1) Не проходит; 2) не может.
§ 3.
7. У к а з а и и е. Продлите медианы на их длину. 9. 0,3 м. 10. 3,5 м. 11. 1) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; 2) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м. 22. У казание. Воспользуйтесь свойством медианы в равнобедренном треугольнике. 25. 3) Указа- н и е. Продлите биссектрису BD на ее длину. 27. 15 м. 30. У казание. Воспользуйтесь утверждением задачи 29. 39. Указание. Продлите медианы на их длину.

Ответы и указания к задачам
365
§ 4.
5. Углы АВ\С\ и AC\Bi и углы BBtC\ и CC|Bi внутренние односторонние, а углы АВ\С\ н CCiB, н углы BB|Ci и АС\В\ внутренние накрест лежащие. 7. Углы ВС А и DBC внутренние накрест лежащие, углы САВ и DBA внутренние односторонние. 14. 1) 105° и 75°; 2) 75°. 15. Три угла по 72° каждый и четыре угла по 108° каждый. 16. Не может. 18. 1) 100°; 2) 65°; 3) 35°;
4)		35°. 19. 1) 30°, 60°, 90°; 2) 40°, 60°, 80°; 3) 45°, 60°, 75°; 4) 48°, 60°, 72°;
5)		50°, 60°, 70°. 20. Не может. 21. Не может. 22. 1) 100°; 2) 70°; 3) 36°. 23. 1) 50°; 2) 30°; 3) 75°. 24. 40°, 40°. 25. 70° и 40° или 55° и 55°. 27. 1) 80°, 80°, 20°; 2) 70°;
2		4
70°, 40°; 3) два угла равны 120° —— а и один — а —60°. 29. 1) 105°; 2) 180° —
—iy (« + Р): 3) 155°; 4) 90°+-£ . 31. 90°. 32. 110°, 35°, 35°. 33. 60°, 30° и 90°.
^	^	/А	/С
34. НО9. 36. Точка Л. 38. 609. 39.	= /.DBE=£B +
+ /"А2 АС • 40- 140<’’ 10°- 41< Ч 20°< 2) 6У; 3) “• 42, Углы A ABD:
АА — a, AD = 90°, АВ = 90° —а; углы ДСВВ: AD = 90°, ДВ = а + Р — -90°, ДС = 180°-а-р. 44. 90°, 45°, 45°. 45. AD = 90°, АВ = 60°, АА = 30°. 46. 150°. 47. 90°.
§ 5.
1. У к а з а н и е. Отложите на луче отрезок, равный радиусу. 2. Указание. См. задачу 1. 5. 1) 60°; 2) 120°. 7. Не может. 9. 30°. 10. 60° и 120°. 11. 70 см, 10 см. 12. Не могут. 13. 1) Не могут; 2) не могут. 14. 2) У к а з а н и е. Воспользуйтесь доказательством от противного. 15.	2) Указание. Вос
пользуйтесь доказательством от противного. 3) У к а з а н и е. Докажите сначала, что общая точка данных окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры. 16. 2) Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного. 18. Указание. Воспользуйтесь утверждением задачи 16, 1). 28. Указание. Начните с построения равностороннего треугольника. 32. Указание. В искомом треугольнике продлите медиану на ее длину. 36. Указание. См. задачу 35. 37. Указание. См. задачу 35. 38. Указание. См. задачу 35. 39. Указание. Начните с построения высоты. 41. Указание. См. задачу 50 § 4. 42. Указание. См. задачу 41. 46. У казание. Постройте сначала треугольник, у которого одна сторона равна заданной стороне искомого треугольника, другая сторона — сумме двух других его сторон и угол между ним и равен заданному углу. 47. Указание. Воспользуйтесь указанием к предыдущей задаче с той разницей, что вместо суммы двух сторон искомого треугольника надо взять их разность. 48. См. указание к задаче 46. 50. У казание. Сведите решение задачи к предыдущей, построив вспомогательную окружность, концентричную одной из данных, с радиусом, равным сумме или разности радиусов данных окружностей.
§ 6.
3. Три. 4. 10 м. 5. 3 см и 4 см. 7. BC = AD — 4,8 м. 8. AD = 15 см, CD —10 см. 9. AB=AD= 150°, АС = 30°. 10. 3 см. 11. 40°, 140!, 140°. 12. 115° и 65°. 13. Не могут. 14. 60°, 60°, 120°, 120°. 15. 1) 40°, 40°, 140*, 140°; 2) 50°, 50°, 130°, 130°; 3) 80°, 80°, 100°, 100°. 16. 1) 55°, 55°, 125°, 125°; 2) 35°, 35°, 145°, 145°;
3)		20°, 20°, 160°, 160°. 19. BE = 9 см, СЕ = 6 см. Указание. Докажите, что

366
Ответы и указания к задачам
&АВЕ равнобедренный с основанием АЕ. 20. 0,6 м и 0,8 м. 21. AB=BD = 1,1 м,
.AD=0,8-m. 28. 60 см. 29. 10 см и 18 см. 30. 12 см, 20 см. 31. 12 см. 32. 10 см и
25 см или 7,5 см и 18,75 см. 35. 80° и 100°. 37. 60° и 120°. 41. 4 ы. 43. 2 ы.
44. 2 м. 45. 4 м, 8 м. 46.1 м. 47. 10 см. 50. 4 см, 5 см, 6 см. 51. 6 см. 52. 6см, 5 см,
5 см. 56. 5 м, 6 м. 57. а+ Ъ. 59. 3 ы, 4 м. 61. 70° и 110°. 62.1,7 м. 63. 24 см, 36 см.
64. 60° и 120°. 65. 15 м. 66. 3 см. 67. 4 ы, 6 м. 68. 2,2 м. 69. 9 см и 5 см. 70. а. 71. Указание. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны боковым сторонам трапеции, а третья — разности оснований. 72. Указа- ■н и е. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны диагоналям
трапеции, а третья ■
• сумме ее оснований. 73. Постройте сначала отрезок х=^,
а
воспользовавшись решением задачи 6.1.
§ 7.
2. 1) 5; 2) л[2
1,4; 3) V61»7,8. 3. 1) 4; 2) 12; 3) т/П«3,3. 4. 5 м пли
л/7 м«2,6 м. 5. Не могут. 6. 1) 5 см; 2) 17 дм; 3) 6,5 м. 7. 109 см. 8.
V2
9. Нельзя. 10. ~\jl м«2,6 м. 12. Могут. 13. ——. 15. Указание. Пост-
а+Ь	I а — Ь\
роите сначала отрезки с = —-— и а = —-—, Тогда искомый отрезок
л='/с2— d1. 16. ','116 mss 10,8 м. 18. 90°. 20. Указание. Соедините одну из точек с вершиной треугольника отрезком и воспользуйтесь результатом задачи 19. 22. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 21. 26. Нс моясет. 27. 2 м. 28. Указан и е. Продлите медиану на ее длину. 31. 2) У к а- з а п и е. Сведите решение этой задачи к предыдущей согласно рисунку 165, б. 32. Не могут. 34. R — d, Д-j-d. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 35. d+R, d—R. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 36. Не могут. 37. Не могут. 38. Указание. Сравните расстояние между центрами окружностей с их радиусами. 39. Не могут. 41. Указание. Данные числа удовлетворяют условиям задачи 40.42.1), 3), 4) Нельзя; 2) можно. 43. Воспользуйтесь результатом задачи 41.44.10 см, 6 см. 45. 90° — а,
а соз а, а sin а. 46. 90°—а, ° , -г-—. 49. 1) sin 16°=0,2756, cos 16° =
tg а sin а
=0,9613; 2) sin 24°36'=0,4163, cos 24°36' = 0,9092; 3) sin 70°32' = 0,9428, cos 70°32'=0,3333; 4) sin 88*49'=0,9998, cos 88*49'=0,0206. 50. 1) х=1°; 2) * = 30°6'; 3) х = 47°3'; 4) * = 86°9'. 51. 1) tg 10° =0,1763; 2) tg 40*40'= =0,8591: 3) tg 50°30: = 1,213; 4) tg 70°15' = 2,785. 52. 1) *=17°53'; 2) х = -=38°7ЧТЗ) х = 80*46'; 4) х = 83°50\ 53. 31*25'; 31*25'; 117*10'; 23,8 м. 54. 34*10' и 55*50'. 55. 51°. 56. 116*16' и 63*44'. 57. 29*52' и 150*8'. 58. 12 м,
45*14'. 59. 60*16'. 60.	61.1) а) 5; 36*52'; 53*8'; б) 41; 12*41'; 77°19'; в) 29;
43°36'; 46°24'; г) 61:^10*23'; 79°37'; 2) а) 12; 22°37'; 67*23'; б) 24; 16°16'; 73*44'; в) 15; 28*4'; 61*56'; г) 13; 81*12'; 8°48'; 3) а) 70°; 0,68; 1,88; б) 39°40'; 3,08; 2,55; в) 19’24'; 7,55; 2,С6; г) 13°39'; 15,55; 3,78; 4) а) 59°33'; 5,92; 5,10; 6) 49°12'; 7,65; 5,79; в) 29°25'; 8,04; 3,95; г) 22°; 9,71; 3,64. 62. 1) cos2 а;
2) sin2 о; 3) 2; 4) sin3 о; 7) 1; 8) sin2 а; 9) 1 + tg5 а. 63.1) sin ®=-jg > tg a=-g »
2) sin a=j^ , tg a=^ ; 3) sin a=0,8, tg a=-g-. 64. 1) cos a=-|-, tg b=-|- ;
9	40	4	а л/3	a
2) соза=—, tg a="g ! 3) cosa = 0,6, tga=—. 66. —. 67. r=—

Ответы и указания к задачам
367
л/З — 1
Я=-^г. 68. 29 см пли -\/882 смя;29,7 см. 69. (-^3—1) м» 0,732 м; ———я* л/З	Л/2
«0,517 м. 70. 60° и 120”. 71. 60”, 60”, 120”, 120”. 72. 1), 6) а; 2), 3), 4), 5) р. 73. ВС. 74. А. А.
§ 8.
3. 2. 4. 3. 5. (2; 0). 6. (0; 3). 7. Прямая, параллельная оси у. 8. Две прямые х=3 и х= —3.10. Положительную. 11. 4; 3. 12, 1) (3; 2); 2) (—1; 3); 3) (1; 1). 13. 1) (-2; 3); 2) (3; -5); 3) (-4; 4). 16. (0; 1), (-2; 0), (-2;-1). 17. АВ = 5, АС= 10, ВС = 5. 18. Точка В. 20. (3; 3) и (15; 15). 23. (3; 4), ( — 4; 3), (0; 5). 24. (5; 12) и (5; -12); (5; -12)и(-5; -12). 25. xJ + (i/-3)J = 13. 26. (х+4)’ + + (j/_3)2 = 25. 27. (-2; 0) или (4; 0). 28. (х — I)2 + (у — 2)2 = 4. 29. (х + 3)2 +
+(у-4)2 = 25. 31.(0; 1) и( —-j ; --1) -32. (7; 0) и (1; 0). 36. 1)х+у-5=0;
2) Зх + 10у —2 = 0; 3) х+6у + 13 = 0. 37. х=0, у = 0, х+2у—4 = 0.
38. а = Ь=-^-. 39. 1) (-3; 0) и (о; --; 2) (4; 0) и (0; 3); 3) (-2; 0)
и (0; 3); 4) (2,5; 0) и (0; -5). 40. 1) (1; -2); 2) (2; 4); 3) (0,5; -2). 41. Указание. Найдите точку пересечения двух прямых и проверьте,
лежит ли она на
и(Чг; -4); 4)(0:1)и(-
третьей прямой. 42. ^2;	. 43. 1) п 6), 2) и 3),
1	3
4)		и	5).	45.	х = 2.	46.	у = 3.	47.	Зх-2у = 0.	48.	1)	к=—-;	2)	й=—-;
3)		й=-|-;	4)	й=2.	49.	1)	45”;	2)	60”;	3)	30”. 50.	2) (0;	1)	и (-1;	0); 3)	(0; 1)
2k 1 — fe2\	„
-» , -; д ) . 51. Прямая касается ок-
-	« +1 к +1/
ружности при с— ±л/2, пересекает ее при |с| <-\(2 и не пересекает при |с| > У2.
Указание. Прямая, касающаяся-.окружности, имеет с ней единственную
общую точку, т. е. корни соответствующего квадратного уравнения должны
/о	1	J
совпадать. 52. sin 120®=— , cos 120°=—— , tgl20e=—sin 135°— —,
2	2	-yj2,
соз 135” = —tg 135” = — 1; sinl50”=-i, cos 150”=-^, tgl50”=—L
V2	2	2	V3
53. sin 160” = 0,3420; cos 140'=—0,7660; tg 130”=— 1,192. 54. 1) sin 40” =
=0,6428, cos 40” = 0,7660, tg 40” =0,8391; 2) sin 14”36' = 0,2521, cos 14”36' =
=0,9677, tgl4”36' = 0,2605; 3) sin 70”20' = 0,9417, cos 70”20'= 0,3365;
tg70”20' = 2,798; 4) sin 30”16' = 0,5040, cos 30”16' =0,8637, tg 30”16'= 0,5836;
5)		sin 130” = 0,7660, cos 130” = —0,6428, tg 130°=—1,192; 6) sinl50”30' =
=0,4924, cos 150”30' = —0,8704, tg 150”30'=—0,5658. 55. а,яг11”32' или
168”28'; cc2~134”26'; аэ«158”12'. 56. 1) sino=^^, tga = 2V2; 2) sincc =
3
=~, tg a= —\/3; 3) sina=i, tg a = l; 4) sina=4-, tg a——
2	V2	2	уз
3		2 -v/2	1	1
57. 1) cos a = 0,8, tg a=— ; 2) cos a=	£—, tg a=	—; 3) cos a=		,
4		3	2V2	V2
1	5	'	12	*
tg a = —1 или cos a=—, tg a = 1. 58. sin a=—, cos a = ——. 61. Указа-
-,J2	.	13	13
иие. Рассмотрите сначала случай, когда оба угла а и р.острые. 62. См.
указание к задаче 61.

368
Ответы и указания к задачам
§ 9
2. В квадрат. 4. Указание. Постройте последовательно вершины С, D и Е равносторонних треугольников ABC, ACD, ADE. Точка В искомая. 7. Не может. 9. Указание. Вершины данного четырехугольника переходят при симметрии относительно его центра в вершины. 10. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно данной точки. 11. 1) Отрезок; 2) угол; 3) треугольник. 14. 1) ( — 3; —4); 2) (3; 4); 3) (3; —4). 19. Три. 24. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно прямой Ъ. 28. (1; —1), (2; —1), (1; 1). 29. 1) а = 6 = 2; 2) а= — 3, 6 = 8; 3) а = 6 = 1. 31. 1) Не существует; 2) существует. 34. Одинаково направленные лучи: АВ и DC, AD и ВС, CD и В A, DA и СВ. Противоположно направленные лучи: АВ и CD, ВС и DA, DC и В A, AD и СВ.
§ 10.
	1. АВ, АС, ВС одинаково направлены, В А и каждый из векторов АВ, АС
и ВС противоположно направлены. 4. (2; 4), ( — 1; 2) и [с,; о). 5. т=±12,п=±7. 8Л)?(-3; 4),_Й = 5; 2) cJ6; 8)^ |с[ = 10.10. 1) с (5; -12), |с| =13; 2) с ( — 6; 8),
1 с 1 = 10. 12. АВ — а — 6, CD = Ь — а. 14. 2) Указание. Постройте &АВС,
у которого АВ=а, ВС=Ь. Тогда ~АС = а'+Ъ. 15. —г_. 19. с( —6; —8), Й =10.
л'3
20. 1)	2) il; 3)	. 23. AB = ±(a + b), CD=-±(a + b), CB =
=-~-(b — a), AD — ~{a — b). 25. а и с, 6 и d. Векторы о и с одинаково Лк	_ _л
направлены, а 6 и й противоположно направлены. 26. т = 2. 27. Х = —1, р = 0. 28. У к а з а н и е. Воспользуйтесь теоремой 10.3. 29. 90 \ 30. V3. У казанце.
Iс-ЬЬ12 = (а-нЬ)'. 31. 30\ 32. созЛ = 0,6, cosS = 0, cosC=0,8. 33. X Л=30%
ХВ = 60\ ХС = 90°. 35. m= —-j-. 36. ?.= -l-. 39.	2 (Ь2 + с')-а2,
о	Лк
ть =-^- \'2 Й + с2)— Ь2, тс = -^- -\f2 (а-’ + б2) — с5. 40. Указание. Воспользуйтесь задачей 38. 45. Единичные векторы а, с и d, векторы and коллннеарны. 46. е (0,6; 0,8). 47. 2, -3. 48. 1)
р + Я
§ 11.
5. Треугольник. С. АА = 30°, AiB: = 1,5 м. 8. Указание. Постройте сначала какую-нибудь окружность, касающуюся сторон угла, и воспользуйтесь гомотетией относительно вершины угла. 9. Указание. Воспользуйтесь гомотетией относительно одной из вершин треугольника. 11. 13,6 см. 12. АС =
= 4 м, B,Ci = 14 м. 13. АС=24 см, AtС, = 18 см, В,С, =15 см. 16.	.
т	27	о + й
17. — . 18. 4 см. 19. — . 20. 1) 14 см; 2) 6 дм. 22. т:п. 23. п:т. 24. АС=18 ы.
П	Л о
Указание. Треугольники ACD и СВА подобны. 25. т:п. 26. 15 см, 18 см.
27. 4,5 см. 29.	■. 30. А,С, = 1,2 м, АС = 3 м. 32. Z.D = 18Q° — 2 А А,
Х£=180° —2ХВ, ХУ=180°—2ХС.34. Подобны. 35. 1) Да; 2) да; 3) нет. 37.1 м, 2 ы, 2,5 м. 38.6,5 м, 5,5 м. 39.1) Подобны; 2) не подобны. 40.15 см, 20 см.

Ответы и указания к задачам
3G9
Ъс
25 см. 41. 21 см. 43. т2: л2. 4. «42 м. 45. 		. 46. Указание. Проведите
о + с
через точку В прямую, параллельную прямой DC. 47. Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 48. 1) 300° и 60°; 2) 230° и 130°; 3) 190° и 170°. 49. 5 см. 50. 30° или 150°. 52. Указание. См. задачу 51. 54. а или 180° — а. 55. 50°. 56. Указание. Докажите сначала, что противолежащие вершины вписанного четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие противолежащие вершины. 60. Указание. Воспользуйтесь двумя предыдущими задачами. 63. «225,8 км. Указание. См. задачу 62. 64. «82,7 км.
§ 12.
JL
’ У’ 35 ’
—.	2. Vi3 ИЛИ V109 м. 4.
5. дУ + Ь" ± 2аЬ cos а. 6. 2,25 м, 3,75 м. 8.
12 д /б
— д/с2 + У ± led cos а.
о /Н 12 л/6
м, 2 -уо м, —— м.
9.	м, 2 V7 м, м. 10,
12л/42	д/Н)5
м, — м.
увеличивается. 12.
a sin a sin В
Не
13
может. 14,
2
35
12д/15
11
15.
м. 11. Сторона АВ
АВ=-ЛС* ШР
16. х=-
2д/б	sin(a-fp)
. .	. 18. Сторона АВ наибольшая, сторона ВС наименьшая,
sin (a — р)
19. Угол В наибольший, угол С наименьший. 20. Боковая сторона больше. 24. У к а з а н и е. Продлите медиану CD за точку D на ее длину. 25. Указа- н и е. Воспользуйтесь свойством перпендикуляра и наклонных, проведенных к прямой из одной точки, и утверждением предыдущей задачи.
26. 1) а = 105°,	Ь« 2,59,	с« 3,66;	
2) ? = 45°,	Ь«17,9,	с«14,6;	
3) а = 20°,	Ь«65,8,	с «88,6;	
4) v = H9°,	а «16,7,	с «24,8;	
5) 7 = 68°,	а «13,6,	& «11,2.	
27. 1) а«79°,	Р«41°,	с« 10,6;	
2) а«11°,	р«39°,	с«28;	
3) р«27°,	7«58°,	о «19,9;	
4) р«21°,	7*15°,	о«22,9;	
5) а« 16°,	7« 12°,	Ь«53,4;	
6) а «130°,	7-35°,	^«8,09.	
28. 1) с«8,69,	р« 21°,	у«39°;	
2) с« 19,6,	Р« 13°,	7*29°-;	
3) с«22,3,	Р*6°,	7«10°;	
4) решения не	имеет;		
5) с«11,4.	а«42°,	7» 108°	
или с «2,49,	Р«138°,	7«12°.	
29. 1) а «29°,	Р*47°,	7« 104°;	
2) а«54°,	Р«13°,	7«113°;	
3) а «34°,	р«44°.	7«102°;	
4) а« 39°,	р«93°.	7«48°;	
5) а« 15°,	Р~11°.	7« 154°;	
6) сс« 136°,	Р« 15°,	7«29°.	

370
Ответы и указания к задачам
§ 13.
2. Л1+Лг+^, Л|— Яг — d. 6. Не может. 8. — п(п — 1). 10. 36°, 72°, 108°,
144°. 12. 1) 8; 2) 12. 13. 1) 10 сторон; 2) 15 сторон. 14. Указание. У этого п-уголышка все стороны равны, все углы равны. 15. Указание. У этого л-уголышка все стороны равны, все углы равны. 18. Указание. Выразите
/ 2
оба радиуса через сторону треугольника. 19. a~w -g- • Указание. Найдите радиус окружности. 20. 2 т/б дм. 21. 2	2 см. 22. -\/3 сы. 24. Указание.
Воспользуйтесь теоремой косинусов. 25. Указание. Сначала с помощью задачи 29 § 11 найдите сторону 10-уголышка, а затем во теореме косинусов —
сторону 5-уголышка. 27.	+	28. 6 =
Я(V5 —1)	„-Л /б-л/5	„„	/„2 а2
0,0	2	’ a$~R'J —2	1	R 4 '
2аЯ
л[£к2 —а
.29. а =
2ЬЯ
■. 30. Указание. Впиши-
Л/4ЯТ+Ь2
те сначала правильный шестиугольник. 32. iiill. 33. а; ft. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м.
П
35. 6,28 мм. 36. «3,06. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 23. 37. «3,11. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 24.38. «6366,2 км.
39. «6,3 см. 40. 1) - —	2)
2+УЗ
—; 3) —■. У к а з а н и е. Центры кругов
" "t” “V ^	1 *4"	”	/—	Г-
являются вершинами правильного л-уголышка. 41. 1) Л (3 + 2 уЗ); 2) Я (1+ V2)>
3) Л. У к а з а и и е. Центры кругов являются вершинами правильного л-уголь-
шша. 42. «351,9 м/мнн. 43. 1) -jr см; 2) см; 3)	с;.:; 4) см.
О	4	t)	Z
44. 1) 120°; 2) 90°; 3) 72°; 4) 60°; 5) 210°; 6) 270°. 45. «31". 46. 1) «0,79 м;
ла
2) «0,52 м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5) «1,06 м; 6) «2,63 м. 47. 1)
3 ’
централь
на	2ла
2) 	— ; 3) 	. Указание. По хорде и соответствующему
2V2	3-V3	„3/ .2-^1 „ 3V31 „
ному углу найдите радиус окружности. 48. 1) —; 2) 	; 3) —— .Указа-
•	Л	Я	Z71
н и е. Найдите сначала радиус окружности. 49. 1) -g-; 2)	; 3)	. 51.1) 90°;
2) 45°; 3) 22,5°; 4) 150°; 5) 70°; 6) 240°.
§ 14.
1. У казаки е. Примените теорему Пифагора. 2. «180 м. 3. S = —. 4. В 2
раза. 5. Площадь увеличится в 9 раз. 6. В 5 раз. 7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм, 25 дм.
9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 14. УГб см. 17. 4800 м2. 18. — .
19. 6 см. 21. —22. 3Rl^2.23. 600 см2. 24. 55 см, 48 см. 25. ЛС = 90°.
4	4
26. «0,47 м2. 27. 5,64 м2. 28. Я.| 8?П ,*■ SO. 1) 81; 2) 12; 3) 288; 4) 10;
2 sin (а + р)
2520
5)	6) 1,4. 31. — ^р[р-а){р-Ь){р-с). 32. 1) 24 см; 2) 24 см.
-!■«*	С	168
33. 13,44 см. 34. 12 см; 11,2 см; ^ см. 35. 1,344. 36. 1) 4; 2) 7,2; 3) 4,8;
1о
4)
5040
169
65
65
. 37. 480 см2. 38. 408 см2. 39. 540 м2. 43. 1) Л =— , г=4; 2) Я=-д •

Ответы и указания к задачам
371
г=1,5; 3) Л=^. г=4; 4) Л=^, r=f. 44. 4.5 см. 45.
г=—~\/ 2Ь-~° . 46. Д =	- см, г=—см. 47. У к а за н и е. Воспользуйтесь
2 V 25 + а	24	3
свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности. 48. Д = 29 см, г= 12 см. 50.1:4. 51. Д. 52. а?: 6*. 53.-54.1) 20я см2; 2) 12л м2; 3) л (о2 — Ь2).
V2
55. 1) В 4 раза; 2) в 25 раз; 3) в ж2 раз. 56. 1) -2-; 2) —^; 3) —. 57. —.
"	3 -у 3	3 УЗ	’
58. 2. 59. 1) 2^; 2)	3)	4)	5)	6) ^1.60.1)^*;
2) ^. 61. о2(|—	. 62. 1) (я—2) Д2; 2) (я-^р) Я*» 3) (я-^тр) Я*.
§ 15.
2. Можно. 8. Указание. Возьмите точку в другой плоскости и проведите через нее и данную прямую плоскость. Примените к этой плоскости аксиому параллельных. 12. Четыре плоскости. 14. Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного.
§ 16.
2. Нельзя. 5.1) 6 м; 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4)
а + Ъ
~~2
. 6.1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см;
4)
|а-Ы
. 7. 1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см; 4) e^l+-j) . 8. 1) 7 м; 2) 2 м;
3) а+с—Ь. 9. Нельзя. 13. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4) —■—. 19. Указание.
См. задачу 16. 20. Не всегда. Указание. См. задачу 16. 26. Решения нет, если точка лежит в плоскости прямых. 32. .AiBi = a. 35. У к а з а н и е. Сравните отношение отрезков двух произвольных прямых: Х\ХгХг и У1У2У3. 38. Средней линией. 39. Не может. 40. Может. 41. Указание. Отношение отрезков сохраняется. 42. Указание. Проекция перпендикулярного диаметра проходит через середины хорд, параллельных проекции данного диаметра.
§ 17.
2. Указ а н и е. См. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) л/а'2 — b2 + dJ;
4)		Уа2 —c2 + 2d2. 7. 2 м. 8. ВВ=Уа2 + Ь2 + с2, СР = Уа2 + с1 14. 2,6 м. 15. «3,9 м.
[I
16. 9 м. 17. а~\1 — . 19. 1 м. 20. 6,5 м. 21. "у°!—^-. 22. Окружность.
23. 6 см, 15 см. 24. 1) 15 см, 41 см; 2) 4 см, 8 см. 25. 9 см. 27. 6 м. 28. 5 м, 3 м. 29. Уо2+с2 — Ь\ 31. УЬ2 —а2. 32. уь2+с4—а2. 33. 0,36 м или 0,44 м.
36.1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3). 37.1) 1,05 см; 2) 0,65 см; 3) |а~Ь1.38. 0,6 м.
«	Л
am
m+n
(m соответствует основанию, через которое проведена плоскость).
39.

372
Ответы и указания к задачам
40. ~. 41. Длина перпендикуляра V2а3 — Ь1, длина стороны	.
42. -/а3 -f- Ь~ — с1, -'/с' — а', /с3 — Ь’. 43. -/2 м. 44. 2 -/2 м. 4G. 2,5 м. 47. 6 м.
48. 14 см. 49.	+	50. -у а3--^-.	51.	-s/2b*-a:. .52.	2,5 м.
~\JЬ7 + с- —	. 55. У к а з а н и е. Прямые, перпендикулярные плоскости, па-
раллельны. 56. л/22 м. 57. 4 м. 59. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 ы; 4) 7 м;
5)		Уа3 + £г + с7; 6) ■\1а- + Ь: — с2. 60. Л/от+5Т. 61. 1,3 м. 62. 1,7 ы.
§ 18.
1. На оси г. 3. (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3); (1; 2; 0), (1; 0; 3), (0; 2; 3).
4. Расстояние от плоскости ху равно 3, от плоскости xz равно 2, от плоскости yz равно 1; расстояния от осой х, у, z соответственно равны т/13, -/Гб, /5; рас- стояшге от начала координат равно -\ 14. С. (2; 2; 2) и (— 2; —2; —2). 7. С (О; 0; 0).	8. а: + 2у + Зг = 7.	12. В <0; — 1; 3>.	13.	1) D{ С;2;-2;;
2)		D ;0; -2; 2); 3) Л (—1; 7; —2'. 18. ( — 1; —2; -3); (0; 1; -2)\ (—1; 0; 3>. 20. У к а з а и и е. См. задачу 16. 24. (—1; —2; 1;. 25. 1), 2), 4) Нс существует;
3)		существует. 30. 90’. 31. х~?> или |а-й|. 32. 40° или 20°. 36. 1) — ;
>3	Л 2
2)		-2- ; 3)	. 37. 30°. 33. с , 6. 39. а /2. 40. За. 41. 30°. 44. 30’. 45.13 м; /409 м.
46. 1) cosa = -i ; 2) cosa = /:- . 47. 3,36 м. 48. 1)	; 2)	;
_	11	о	с>
3)		49. 1) ^ м2 или 48 м:; 2) 2,5 м= пли ^ м3. 51. Л(-2;3;0'.
о	<	<
52. D (2; 1; -2). 53. л = -1 , т=— . 55. 1) « = -1,2) л= -1, 3) п = 2, 4) л = 4.
О	м	*5
5G. с=1. 57. -\/|а|2-нБ|г-Нё|г-Ыа!|Ь1. 58.	1) cos <? = -!-. ;	2) if = 90°.
I—	V3
/ 2	СОЧ ft	ллс“ CL
60. cos С—~\ — ■ 62. cos с = cos a cos П. 03. 60°. 64. cos<p=	,	.
V lo	sin- a
§ 19.
1. 2) 60°. 4. cos ф =
t sf
t S “
-, cos P=
cos a
6. n (n — 3). 9. У к а з a u и c.
Воспользуйтесь TeopeMoii 17.3. 10. 144 oil 11. 7,5 cm. 12. 12 cm. 13. a Vo, 2a,
2a3, а3 д'З. 14. За3. 15. cos x — ^j3 tg V- . 16.
7a3
8 cos a
. 17. 22 cm. 18. Q /2.
19.12. 20. 2 m. 21. 4 я. 23. 45 с.мг. 24. 1) Заб	; 2) 4a& -f 2a:; 3) 6ab + ЗазУз.
25. 31зУз. 26. 12 mV 29. 188 м3. 30. ^262 смг. 31. 10 см3. 32. 2а, а 33. 13 м, 9 ы. 34. 2 м3, 3 м3. 35. 1) 3; 2) 7; 3) 11. 36. а

Ответы и указания к задачам
373
37. 2 м2. 38. 1464 смг. 39. 2^M2 + 2Qh\ 40. -д^+^ZZ,
лГ~
с2 —Ь2
&г + с*_а2
1	*	л/З
41. 3 см. 42. 12 см. 43. tgai= — tg a, tg a2 = tg a3 = ^r-tg а.
^ 2
44. °	-. 45. 2 -\/3 см. 46. 5 cm, 6 cm. 47. 26 m2. 48. 540 cm2. 49. 10 m2.
2
лк	ОЛ	i r	3erh
53. — cm, — cm, -jr- cm. 55. 11 m. 56. — — . 57. 9 cm. 58. cosx=
6	6	2	4у<г + ЗЛ2
=tg-| ■ 59. 1) -\jЪ'-а1; 2)	d2-^- ; 3) л/Ь^7. 60. 1) sjh'+^x
2)		У**+Т; 3) \h2+^T-61- *> ^(а2+Уа2 + 12Л2); 2) а (а + Уа2 + 4Л2);
3)		^ (a л/з+УЗаг+4р). 62. 2r (г Уз+У3а2—r2). 63. 1,8 m, 4 m. 64. 3a2.
О	Q
65. —. 66. cos ф=-=-. 67. 16 см и 6 см или 12 см и 8 см. 68. -\/2 см.
COS ф	о
* 2 1.2
70. 9 см. 71. 1 дм. 72. 6 см. 73. 2 см. 74. —~	. 75. 20л/2. 76. 24 м2,
30е. 77. 168 м2. -78. 1) ^(а2 + Ь2 + (о + 6)У12Л2 + (а — bf; 2) а2 + &2 +
+(о + Ь)У4Л2+(о-Ь)2; 3) — (Уз (а2 + Ь2)+(а + Ь)У4Л2 + 3 (а-Ь)2). 82. 109°28'.
Указание. Докажите сначала, что в каждой вершине октаэдра сходятся'
две пары перпендикулярных ребер. Затем примените формулу задачи 4.
§ 20.
t
1. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х=— . 8. 10 м. 9. 5 м. 10. —. 11. Л2.
a	Z
п2 ^ д		 гг
12. 2Я2 sin a. 13. 500. 14. 	yi —tg2 a tg2 to, если a + <p<90\ 16. ——.
c°s <p	Y	т	Л/2
17. —. 18. 3 см. 19. 5 m. 20. Д— r. °1. a, 2a. 22. 30 дм2. 23. 9 дм2. 24. -1 (Ум+
4	4
+Ут)2. 26. J™-1L. 27. —R^r ,. 29.16л м2.31.^-. 32. лЯ. 33. «785 км.
Я+Л У2 я+яуз	4
«2
34.12 см. 35. 12 см. 36. 5 см. 37.—— . 40. 3 см. 41. 8 см. 42. Уп + г5. 43. Л tg — ;
4	2
R 2R	а л/з .л а У6	_	a
	;	. 45. 4я м. 46.—-—. 49. —-—. 50. R =	,
a sin a	2	4
tgT
4 sin—Усоз a
2
™-гл/ ^Т- “• 2Я(1-т“"’т)- 52- « 2V*’-? • V * + «?
2) 2уя2-у ; 3) гул2-a1. 53.
atgT
2 tg-
180°
-. 54. Д=-
2 sin 2a* sin
180“

374
Ответы и указания к задачам
§ 21.
1. 6 см. 2. «8,4 г/см3. 4. 25 см. 5. 1,8 г/см3. 6. «2,29 м. 7. 30 м. 8. Вдвое.
9. «192,72 кг. 12. 60 см3. 13. Зм3. 14.	15. V2 м3. 16. —.
V 2	ф
17. 2 -(/sin За sin3 а. 18. abc -/—cos 2а. 19. 1) -^а3Ь; 2) а3Ь; 3) ^-~агЪ. 20. 0,5 г/см3.21. 3 см3. 22.	. 23. 6 м3. 25. 3060 м3. 26. 6048 м3/ч. 27. 35 200 м3.
О
28. 48 см3. 29. 12 см3. 30. 2 см. 31. 4- асУ12а3_Зе3. 32. Sln V .
8 v	2 tg а tg р
33. 1) ^ V3b2-a2; 2) фЪ2-2аН 3) ^ ф^-а2). 34. Указание.
Высота пирамиды равна радиусу окружности, вписанной в основание.
3 V3
35. ~ Ь\ 36. -=-=
6	12 V2
. 37.
Д3 У2^ 38> Д3л/2
.Указание. Разбейте октаэдр на
12 '	3
две правильные четырехугольные пирамиды. 39. 360 м3. 40. 48 см3. Указа-
н и е. Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описан-
		4		
•ной около основания пирамиды. 41. ф! см3. 42. — Z3 cos a cos р т/sin2 a —cos2 р.
43. — Л3 sin а sin р sin (а + р) tg у. 45.
О
. 46. -4 (а3- ь3) tg а. У к a з а-
VoI-VQ^ 6
1,1 ..	.„Л
•ни с. Воспользуйтесь формулой задачи 44. 47. — (a3 — b’)tga. 49. —.
§ 22.
1. «0,75 мм. 2. «4500 л. 3. В л раз; в -\/л раз. 4. 4:1. 5. — ла3. 6. «61 кг.
7. «6,3 м3. 8. 9л м3. Указание. Высота конуса равна радиусу его
С2	I ■
основания. 9. — -*-\14.л212 — с2. 10. ~ л/3 sin a cos2 а. 11. «1,6 т. 12. «0,35 м.
<:4п	о
2%. 17. 4 |Д3-г3|. 18. 4 1Д3-г3|. 19. 14 см.
О	и
13.	14
4
ла Ь
16.
20. 1
3 3 л/а2 + Ь- —	, если r<R. 21.
; 14 см. 22.
:39 см. 23. 167. 24. 33 ~ %.
О
Указание. Диаметр шара равен диаметру цилиндра. 25. «2148 см3. 26. -4,—% R. 27.45л см3,243л см3.28.0,028.29. 5:16.30. 3528л см3. Указа-
Л/v 3
и и с. Разбейте указанную часть шара на цилиндр и два сегмента. 31.112,5л дм3 или 450л дм3. 32. — л Я3 (2 — ф). У к а з а н и е. Тело является шаровым сектором. 33. фР:ф?. 34. Большая поверхность равновелика сумме двух других.
35.		Указание. Бирали е обе поверхности через сторону квадрата.
36.		180л см3. 37. 512л см3. 38. «40,4 м3. 39. «116 м3. 40. 75 см. 41. лт + 20. Указание. По площади основания найдите его радиус. 42. «25,3 м.
g
43. «33,98 м3. 44.	. Указание. По площади основания найдите его
cos а
радиус. 45. 2:3.46. Выразите поверхность шара и конуса через длину образующей конуса. 47. 30°. 48. 1 м. Указание. Длина окружности основания равна длине дуги сектора. 49. «1,04 м3. 50. «4,3 кг.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Абсцисса 120 Аксиома 18
—		параллельных 16 Апофема пирамиды 309
	усеченной 309
Б
Биссектриса треугольника 38
—		угла 29
Боковая поверхность конуса 322, 358
	 пирамиды 309
	призмы 297, 300
	цилиндра 320, 358
В
Вектор 155
—		единичный 167
—		нулевой 155
Вектора абсолютная величина и направление 155
—		координаты 157 Векторы коллинеарные 163 Высота конуса 322
—		параллелограмма 218
—		пирамиды 305
—		призмы 297
■— трапеции 221
—		треугольника 38
—		цилиндра 320
Г
Геометрическое место точек 74 Геометрия 3 Гипотенуза 57 Гомотетия 174
Градусная мера дуги окружности 182 Грань многогранника 296
д
Движение 137, 277 Двугранный угол 293 Декартовы координаты в пространстве 270
	на плоскости 120
Деление отрезка пополам 72 Диагональ многоугольника 202
—		призмы 297
—		четырехугольника 82 Диагональное сечение пирамиды 306
•— — призмы 298

376
Предметный указатель
. Диаметр окружности 60
—		шара 327
Диаметральная плоскость шара 327 Длина' окружности 209 Доказательство 17
—		от противного 28 Дуга окружности 182
К
Касательная прямая к окружности 68 	к шару 329
Касательная плоскость конуса 325
	 цилиндра 322
	 шара 329
Касание двух окружностей 69 Катет 57 Квадрат В В Конус 322
—		прямой 322
—		усеченный 324 Конуса осевое ссчснке 323 Концы отрезка С
Координаты середины отрезка 122 Косинус угла 102 Круг 224
—		большой (окружность) 326 Круговой сегмент 225
—		сектор 225 Куб 309
Л
Линейный угол двугранного угла 293 Ломаная 200
—		замкнутая 202
—		простая 201 Луч (полупрямая) 9
—		проходит между сторонами угла И
Лучи дополнительные 9 М
Масштаб 174 Медиана треугольника 38
Многогранник 296
—		выпуклый 296
—		правильный 309 Многогранники вписанные н описанные 331
Многогранный угол 295 Многоугольник 202
—		вписанный в окружность 204
—		описанный около окружности 204
—		плоский 202
—		правильный 204
—		выпуклый 203
11
Наклонная 105, 258 Неравенство треугольника 106
Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 202 Объем 339
—		конуса 354
—		наклонного параллелепипеда 342
—		пирамиды 347
—		призмы 344
—		прямоугольного параллелепипеда 341
—		цилиндра 353
—		шара 356
—		шарового сегмента 357 	сектора 357
Объемы подобных тел 348 Окружность 65, 74
—		вписанная в треугольник 69
—		описанная около треугольника СО
Определение 18 Ордината 121 Орт 167
Оси координат 120, 270 Основание перпендикуляра 27, 258 Ось вращения 320, 322, 327, 355

Предметный указатель
377
—		прямого конуса 322
—		симметрии 142
—		цилиндра 320 Отрезок 6
Отрезка деление пополам 72
—		концы 6
П
Параллелепипед 301
—		прямоугольный 303 Параллелограмм 83 Параллельность плоскостей 242
—		прямой и плоскости 241 Параллельный перенос 145 Пересечение прямой с окружностью
130
Перпендикуляр к плоскости 258
—		к прямой 27
Перпендикуляра существование и единственность 58
Перпендикулярность плоскостей 260
—		прямой и плоскости 253 Планиметрия 4 Пирамида 305
—		вписанная в конус 325
—		описанная около конуса 325
—		правильная 308
—		усеченная 307 Плоскость 231 Площадь 216
—		круга 224
—		кругового сегмента 225 	сектора 225
—		ортогональной проекции многоугольника 283
—		параллелограмма 218
—		прямоугольника 218
—		сферы 259
—		трапеции 221
—		треугольника 219, 220 Площади подобных фигур 223 Поверхность тела 332 Поворот 143 Полупрямая 9
Построение биссектрисы угла 72
—		перпендикулярной прямой 73
—		треугольника с данными сторонами 70
—		угла, равного данному 71 Правило параллелограмма 159
—		треугольника 159 Преобразование подобия 173, 279 Преобразования фигур 137 Призма 297
—		вписанная в цилиндр 321
—		наклонная 300
—		описанная около цилиндра 322
—		правильная 300
—		прямая 300
Признак паралллельности плоскостей 242
	прямой и плоскости 241
—		перпендикулярности плоскостей 261
	прямой и плоскости 254
—		равенства прямоугольных треугольников 57
Признаки параллельности прямых 49, 51, 240
—		подобия треугольников 176, 177, 179
—		равенства треугольников 32, 35, 40
Проекция вектора на ось 161
—		наклонной 105, 258
—		прямой на плоскость 281 Прямая 4 Прямоугольник 86
Прямые параллельные 16
—		перпендикулярные 27
—		скрещивающиеся 239
Р
Равенство векторов 156 Равенство отрезков 14
—		треугольников 14
—		углов 14
—		фигур 149 Равновеликие тела 345 Радиан 211
Радиус круга 224
—		окружности 65
—		цилиндра 320

378
Предметный указатель
—		шара 326
Расстояние между параллельными прямыми 59
	плоскостями 259
	скрещивающимися прямыми
262
	точками 7, 106, 123
—		от точки до плоскости 258
—		от точки до прямой 59 Разность векторов 159 Ромб 87
С
Свойства внешнего угла треугольника 56
“ движения 138, 139
—		пар внутренних накрест лежащих и внутренних односторонних углов 51
—		параллельного переноса 145, 146, 278
	 проектирования 246
—		перпендикуляра и наклонных 105
—		преобразования подобия 175
—		углов, вписанных в окружность 183, 184
Свойство вертикальных углов 26
—		диагоналей параллелограмма 83 	прямоугольника 86
	ромба 87
Свойство длины ломаной 201
—		коллннеарных векторов 163
—		медианы в равнобедренном треугольнике 39
—		серединного перпендикуляра 74
—		средней линии трапеции 92 	треугольника 91
—		углов параллельных с секущей 53
Симметрия относительно плоскости 274
	прямой 142
	 точки 140
Синус угла 108
Скалярное произведение векторов 164
Средние пропорциональные отрезка в прямоугольном треугольнике 180 Средняя линия трапеции 92
	 треугольника 91
Стереометрия 231 Сумма векторов 158 Сфера 326
Т
Тангенс угла 108 Тело 332
—		вращения 355 Теорема 17
—		косинусов 191
—		обратная 37
—		о трех перпендикулярах 259
—		Пифагора 103
—		синусов 193
—		Фалеса 89
Теоремы условие и заключение 17 Тетраэдр 305 Точка 4
—		касания 68, 329
—		лежит между точками 6 Точки, симметричные относительно
точки 140
	 прямой 142
Трапеция 92
—		равнобокая 92 Треугольник 14
—		равнобедренный 36
—		равносторонний 36
—		прямоугольный 57 Трехгранный угол 294
У
Угол 10
—		вписанный в окружность 183
—		выпуклого многоугольника 203 	внешний 203
—		между векторами 165 	плоскостями 282
	прямой и плоскостью 281
	прямыми 280
	скрещивающимися прямыми
280

Предметный указатель
379
—		острый 25
—		плоский 182
—		прямой 25
—		развернутый 11
—		треугольника 14 	внешний 55
—		тупой 25
—		центральный 182
Угловой коэффициент прямой 129 Углы вертикальные 25
—		внутренние накрест лежащие п односторонние 50
—		дополнительные (плоские) 182
—		смежные 24
—		соответственные 52 Умножение вектора на число 161 Уравнение окружности 124
—		прямой 125
Условие перпендикулярности векторов 166
Фигура центрально-симметричная 141
Фигуры подобные 175
Формула Герона 220 — для объема тела вращения 355
X
Хорда окружности 66
Центр гомотетии 174
—		круга 224
—		окружности 65
—		симметрии 141
	 параллелепипеда 303
Цилиндр 319
Четырехугольник 81 Ш
Шар 326
Шаровой сегмент 357 — сектор 357

СОДЕРЖАНИЕ
7		класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур
1. Геометр1гческие фигуры 3. 2. Точка и прямая 4. 3. Отрезок 6. 4. Измерение отрезков 7. 5. Полуплоскости 8. 6. Полупрямая 9. 7. Угол 10. 8. Откладывание отрезков и углов 12. 9. Треугольник 14. 10. Существование треугольника, равного данному 15. 11. Параллельные прямые 10. 12. Теоремы н доказательства 17. 13. Аксиомы 18. Контрольные вопросы 18. Задачи 19.
§ 2. Смежные и вертикальные углы
14. Смежные углы 24. 15. Вертикальные углы 25. 10. Перпендикулярные прямые 26. 17. Доказательство от противного 28. 18. Биссектриса утла 29. 19. Что надо делать, чтобы успевать по геометрии 29. Контрольные вопросы 30. Задачи 30.
§ 3. Признаки равенства треугольников
20. Первый признак равенства треугольников 32. 21. Использование аксиом при доказательстве теорем 34. 22. Второй признак равенства треугольников 35. 23. Равнобедренный треугольник 36. 24. Обратная теорема 37. 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника 38. 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника 39. 27. Третий признак равенства треугольников 40. 28. Как готовиться по учеб- гажу самостоятельно 41. Контрольные вопросы 43. Задачи 43.
§ 4. Сумма углов треугольника
29. Параллельность прямых 49. 30. Углы, образованные при пересече- шш двух прямых секущей 50. 31. Признак параллельности прямых 51. 32. Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей 53. 33. Сумма углов треугольника 54. 34. Внешние угли треугольника 55. 35. Прямоугольный треугольник 57. 36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой 58. 37. Из истории возникновения геометрии 59. Контрольные вопросы 60. Задачи 61.
§ 5. Геометрические построения .
38. Окружность 65. 39. Окружность, описанная около треугольника 66. 40. Касательная к окружности 68. 41. Окружность, вписанная в

Содержание
381
треугольник 69. 42. Что такое задачи на построение 70. 43. Построение треугольника с данными сторонами 70. 44. Построение угла, равного данному 71. 45. Построение биссектрисы угла 72. 46. Деление отрезка пополам 72. 47. Построение перпендикулярной прямой 73. 48. Геометрическое место точек 74. 49. Метод геометрических мест 75. Контрольные вопросы 76. Задачи 76.
8		КЛАСС
§ 6. Четырехугольники
50. Определение четырехугольника 81. 51. Параллелограмм 83. 52. Свойство диагоналей параллелограмма 83. 53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма 85. 54. Прямоугольник 86. 55. Ромб 87. 56. Квадрат 88. 57. Теорема Фалеса 89. 58. Средняя линия треугольника 91. 59. Трапеция 92. 60. Теорема о пропорциональных отрезках 93.
61.		Построение четвертого пропорционального отрезка 95. Контрольные вопросы 96. Задачи 96.
§ 7. Теорема Пифагора
62.		Косинус угла 102. 63. Теорема Пифагора 103. 64. Египетский треугольник 104. 65. Перпендикуляр и наклонная 105. 66. Неравенство треугольника 106. 67. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 107. 68. Основные тригонометрические тождества 109. 69. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 111. 70. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла 112. Контрольные вопросы 113. Задачи 114.
§ 8. Декартовы координаты на плоскости
71. Определение декартовых координат 120. 72. Координаты середины отрезка 122. 73. Расстояние между точками 123. 74. Уравнение окружности 124. 75. Уравнение прямой 125. 76. Координаты точки пересечения прямых 126. 77. Расположение прямой относительно системы координат 127. 78. Угловой коэффициент в уравнении прямой 128. 79. График линейной функции 130. 80. Пересечение прямой с окружностью 130. 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180° 132. Контрольные вопросы 133. Задачи 134.
§ 9. Движение
82. Преобразования фигур 137. 83. Свойства движения 138. 84. Симметрия относительно точки 140. 85. Симметрия относительно прямой 141. 86. Поворот 143. 87. Параллельный перенос и его свойства 144.
88.		Существование и единственность параллельного переноса 147.
89.		Сонаправленность полупрямых 148. 90. Равенство фигур 149. Контрольные вопросы 151. Задачи 152.
§ 10. Векторы.
91. Абсолютная величина и направление вектора 155. 92. Равенство векторов 156. 93. Координаты вектора 157. 94. Сложение векторов 158. 95. Сложение сил 160. 96. Умножение вектора на число 161. 97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 163. 98. Скалярное произведение векторов 164. 99. Разложение вектора по координатным осям 167. Контрольные вопросы 167. Задачи 169.
9		КЛАСС
§11. Подобие фигур
100. Преобразование подобия 173. 101. Свойства преобразования подобия 175. 102. Подобие фигур 175. 103. Признак подобия треу-

382
Содержание
голышков по двум углам 176. 104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними 177. 105. Признак подобия треугольников по трем сторонам 179. 106. Подобие прямоугольных треугольников 180. 107. Углы, вписанные в окружность 182.
108.		Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности 184. Контрольные вопросы 185. Задачи 186.
§12. Решение треугольников
109.		Теорема косинусов 191. 110. Теорема синусов 193. 111. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами 195.
112.		Решение треугольников 196. Контрольные вопросы 197. Задачи 198.
§13. Многоугольники
113.		Ломаная 200.114. Выпуклые многоугольники 202. 115. Правильные многоугольники 204. 116. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников 205. 117. Построение некоторых правильных многоугольников 206. 118. Подобие правильных выпуклых многоугольников 207. 119. Длина окружности 209. 120. Ра- дианная мера угла 210. Контрольные вопросы 211. Задачи 212.
§14. Площади фигур
121. Понятие площади 215.	122. Площадь прямоугольника 216.
123. Площадь параллелограмма 218. 124. Площадь треугольника 219. 125. Формула Герона для площади треугольника 220. 126. Площадь трапеции 221. 127. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника 222. 128. Площади подобных фигур 222.
129.		Площадь круга 223. Контрольные вопросы 226. Задачи 226.
10		КЛАСС Стереометрия
§ 15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
130.		Аксиомы стереометрии 231.	131. Существование плоскости,
проходящей через данную прямую и данную точку 233. 132. Пересечение прямой с плоскостью 234. 133. Существование плоскости, проходящей через три данные точки 235. 134. Замечание к аксиоме I 236.
135.		Разбиение пространства плоскостью на два полупространства 236. Контрольные вопросы 237. Задачи 237.
§16. Параллельность прямых и плоскостей.
136.		Параллельные прямые в пространстве 239. 137. Признак параллельности прямых 240. 138. Признак параллельности прямой и плоскости 241. 139. Признак параллельности плоскостей 242. 140. Существование плоскости, параллельной данной плоскости 243.141. Свойства параллельных плоскостей 244. 142. Изображение пространственных фигур на плоскости 245. Контрольные вопросы 247. Задачи 247.
§ 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей
143. Перпендикулярность прямых в пространстве 252. 144. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 253. 145. Построение перпендикулярных прямой и плоскости 255. 146. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости 256. 147. Перпендикуляр и наклонная 258. 148. Теорема о трех перпендикулярах 259> 149. Признак перпендикулярности плоскостей 260. 150. РасстоянЙе между скрещивающимися прямыми 262. 151. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении 262. Контрольные вопросы 263. Задачи 264.

Содержание
383
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве
152. Введение декартовых координат в пространстве 270. 153. Расстояние между точками 271. 154. Координаты середины отрезка 272. 155. Преобразование симметрии в пространстве 273. 156. Симметрия в природе и иа практике 274. 157. Движение в пространстве 277. 158. Параллельный перенос в пространстве 278. 159. Подобие пространственных фигур 279. 160. Угол между скрещивающимися прямыми 280. 161. Угол между прямой и плоскостью 281. 162. Угол между плоскостями 282. 163. Площадь ортогональной проекции многоугольника 283. 164. Векторы в пространстве 285. 165. Действия над векторами в пространстве 285. Контрольные вопросы 286. Задачи 287.
11		КЛАСС
§19. Многогранники
166. Двугранный угол 293. 167. Трехграцньш и мпогогранный угол 294. 168. Многогранник 296. 169. Призма (207у‘ 170. Изображение призмы и построение ее сечений 298. 171. Прямая призма 300. Ц_72' Параллелепипед 301.	173. Центральная симметрия параллелепипеда 303.
174. Прямоугольный параллелепипед 303. 175. Симметрия прямоугольного параллелепипеда 304. {7# Пирамида 305. 177. Построение пирамиды и ее плоских сечений 306. 178. Усеченная пирамида 307. 179. Правильная пирамида 308. 180. Правильные многогранники 309. Контрольные вопросы 311. Задачи 312.
§ 20. Тела вращения
181. Цилиндр 319. 182. Сечения цилиндра плоскостями 320. 183. Вписанная и описанная призмы 321. 184. Конус 322. 185. Сечения конуса плоскостями 323. 186. Вписанная и описанная пирамиды 325. 187. Шар 326. 188. Сечение шара плоскостью 327. 189. Симметрия шара 328. 190. Касательная плоскость к шару 329. 191. Пересечение двух сфер 330. 192. Вписанные и описанные многогранники 331. 193. О понятш! тела и его поверхности в геометрии 332. Контрольные вопросы 333. Задачи 334.
§21. Объемы многогранников	^
194. Понятие объема 339. 195. Объем прямоугольного параллелепипеда 340. 196. Объем наклонного параллелепипеда 341. 197. Объем призмы 343. 198. Равновеликие тела 345. 199. Объем пирамиды 346. 200. Объем усеченной пирамиды 347.201. Объемы подобных тел 348. Контрольные вопросы 349. Задачи 349.
§ 22. Объемы и поверхности тел вращения
202. Объем цилиндра 353. 203. Объем конуса 354. 204. Объем усеченного конуса 354. 205. Общая формула для объемов тел вращения 355. 206. Объем шара 356. 207. Объем шарового сегмента и сектора 357. 208. Площадь боковой поверхности цилиндра 358. 209. Площадь боковой поверхности конуса 358. 210. Площадь сферы 359. Контрольные вопросы 360. Задачи 360. Ответы и указания к задачам 364. Предметный указатель 375.

Учебное издание
Погорелов Алексей Васильевич
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник
для 7—И классов средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Спец, редактор А. М. Зубков Редактор Т. А. Бурмистрова Оформление художника Б. Л. Николаева Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Я. А. Киселева Корректор Г. И. Мосякина
ИБ Ms 13368
Подписано к печати с диапозитивов 15.08.90. Формат 60Х90'/к. Йум. типограф. М 1. Гарнит. Школьная. Печать высокая. Уел. печ. л. 21.04-0.25 форз. Уел. кр.-отт. 25,19. Уч.-изд. л. 19,83 + +0,42 форз. Тираж 2 850 000 виз. Заказ 878. Цена 75 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, у л. Чернышевского, 59.